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삼중적분 계산기

단계 1 / 4 삼중적분

삼중적분은 3차원 영역에 퍼져 있는 양을 측정합니다. 부피, 밀도 함수로부터 얻는 질량, 또는 ∭f(x,y,z) dV 형태의 누적값을 다룰 수 있습니다. 이 계산기는 x, y, z의 수치 직육면체 범위에서 브라우저 기반 중점법 근사를 제공하므로 빠른 확인, 수업 예제, 상자 모양 영역에 적합합니다.

삼중적분을 근사하는 방법

  1. 1

    f(x,y,z) 입력

    x*y*z, x^2+y^2+z^2, sin(x)*cos(y) 같은 계산식 문법을 사용합니다.

  2. 2

    수치 범위 설정

    x, y, z 각각의 최솟값과 최댓값을 입력합니다. 도구는 xyz 공간의 직육면체 영역을 평가합니다.

  3. 3

    축별 단계 수 선택

    슬라이더는 각 축을 n개로 나누며, 따라서 추정에는 n³개의 중점 샘플이 사용됩니다.

  4. 4

    중점 추정값 계산

    각 작은 직육면체의 중심에서 값을 샘플링하고 부피 요소 ΔxΔyΔz를 곱합니다.

  5. 5

    세분화하고 점검

    단계 수를 늘리고 간단한 경우나 사용 가능한 기호식 결과와 비교합니다.

이 계산기가 실제로 평가하는 것

입력 사용 방식 실무상 참고
f(x,y,z) 각 중점에서 샘플링되는 값 매끄러운 함수는 뾰족한 피크나 불연속이 있는 함수보다 더 예측 가능하게 수렴합니다
x min/max, y min/max, z min/max 수치 직육면체 범위 범위는 음수일 수 있으며, 최솟값과 최댓값을 바꾸면 해당 축의 부호가 바뀝니다
축별 단계 수 각 차원에서 나누는 개수 계산량은 n³으로 증가하므로 60단계는 216,000번의 함수 평가를 뜻합니다

이 도구는 수치 계산기이지 기호 적분기가 아닙니다. 원시함수를 찾거나 구면좌표와 원통좌표에 대한 새 경계를 유도하지 않습니다. 영역이 구, 원뿔, 또는 다른 곡면 입체라면 먼저 이 직육면체 중점법이 샘플링할 수 있는 경계와 적분 함수로 문제를 바꾸거나, 삼중적분을 위한 기호 계산 절차를 사용하세요.

자주 쓰는 용도

  • 부피 확인: 상자 영역에서 f(x,y,z) = 1을 사용해 부피를 확인합니다.
  • 질량 추정: 밀도 함수 ρ(x,y,z)를 입력하고 수치 범위에서 적분합니다.
  • 평균값: 적분 추정값을 직육면체의 부피로 나눕니다.
  • 수치 검산: 손으로 구한 답이나 교재의 답을 빠른 계산 추정값과 비교합니다.

좌표계와 부피 요소

좌표계 일반적인 부피 요소 여기서 기억할 점
직교좌표 dx dy dz 이 계산기의 x/y/z 범위와 직접 대응합니다
원통좌표 r dr dθ dz 축대칭 영역에 유용하지만, 변환된 적분 함수에 계수 r을 포함해야 합니다
구면좌표 ρ² sin(φ) dρ dφ dθ 구와 구껍질에 유용하지만, 변환된 경계와 야코비안 계수가 필요합니다

인터페이스는 x, y, z의 수치 범위만 받습니다. 좌표계 개념은 문제를 세우는 데 여전히 유용하지만, 최종적으로 입력하는 식은 계산기가 샘플링하는 변수와 범위에 맞아야 합니다.

확인 예제: 단위 정육면체

단위 정육면체와 f(x,y,z) = x*y*z에 대해:

∭_{0≤x,y,z≤1} x*y*z dV
= (∫₀¹ x dx)(∫₀¹ y dy)(∫₀¹ z dz)
= (1/2)(1/2)(1/2)
= 1/8 = 0.125

범위가 직육면체이고 예상 답이 단순하므로 좋은 테스트 입력입니다. 수치 결과가 0.125에서 크게 벗어나면 단계 수를 늘리거나 식 문법을 확인하세요.

정확도 팁

중점법은 보통 단계 수를 늘릴수록 좋아지지만 여전히 근사입니다. 직육면체 위의 매끄러운 함수가 가장 안정적으로 작동합니다. 불연속 함수, 특이점, 매우 좁은 피크, 또는 실제로 상자 모양이 아닌 영역은 문제를 신중히 다시 구성하지 않으면 오해를 부르는 값을 낼 수 있습니다.

자주 묻는 질문

계산기는 수치 중점법을 사용합니다. 단계 수가 많을수록 샘플 지점이 많아지므로, 매끄러운 적분 함수에서는 보통 추정값이 안정적인 값에 가까워집니다.

아니요. 이 페이지는 수치 경계가 있는 정적분을 근사합니다. 원시함수나 대수적 풀이 과정이 필요하면 기호 적분 계산기를 사용하세요.

직접 입력할 수는 없습니다. 입력은 x, y, z의 직육면체 범위입니다. 원통좌표나 구면좌표 설정에서는 올바른 야코비안 계수와 변환된 경계를 해당 변수를 지원하는 방법에서 사용해야 합니다.

아니요. 모든 계산은 브라우저 안에서 실행됩니다.

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