삼중적분 계산기
삼중적분은 3차원 영역에 걸친 부피, 질량, 플럭스를 계산합니다 — 상자 같은 직교 영역은 경계가 간단하지만 두 포물면 사이의 입체는 신중한 적분 순서 결정이 필요한 그런 문제이죠. 이 계산기는 지정한 경계에 걸쳐 ∭f(x,y,z) dV를 계산하고, 직교, 원통, 구면 좌표를 지원하며, 각 부정적분 단계를 보여줍니다.
삼중적분을 계산하는 방법
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1
f(x,y,z) 입력
피적분 함수. 표준 표기: x*y*z, x^2+y^2, sin(x)*cos(y).
-
2
좌표계 선택
직교(dx dy dz), 원통(r dr dθ dz), 또는 구면(ρ² sin(φ) dρ dφ dθ).
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3
경계 설정
세 변수 각각에 대해 — 상수 또는 다른 변수의 함수.
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4
적분 순서 선택
dzdydx, dxdydz 등. 선택이 수학을 크게 단순화할 수 있습니다.
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5
단계별 계산 확인
안쪽 적분 먼저, 그다음 중간, 그다음 바깥쪽, 각 단계의 부정적분과 함께.
세 좌표계가 무엇을 위한 것인가
| 좌표계 | 부피 요소 | 적합한 대상 |
|---|---|---|
| 직교 | dx dy dz | 상자, 각기둥, 일반 비대칭 영역 |
| 원통 | r dr dθ dz | 원기둥, 원뿔, 회전체 |
| 구면 | ρ² sin(φ) dρ dφ dθ | 구, 구의 섹터, 중력 문제 |
잘못된 좌표계를 쓰면 사소한 적분이 악몽이 됩니다. 반지름 1인 구를 직교 좌표로 적분하면 지저분한 √(1 − x² − y²) 경계가 생기지만, 구면에서는 ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ로 깔끔하고 분리 가능합니다.
흔한 문제
- 질량: ∭ρ(x,y,z) dV, 여기서 ρ는 밀도.
- 질량 중심: ∭x ρ dV / 총 질량, y와 z도 유사.
- 관성 모멘트: 선택한 축에 대한 ∭r² ρ dV.
- 부피: ∭1 dV — 피적분 함수가 1이며 영역의 부피 계산으로 환원됩니다.
적분 순서 바꾸기
안쪽 경계를 바깥쪽 변수의 함수로 깔끔하게 표현할 수 없는 영역에서는 순서를 바꾸는 것이 도움이 되는 경우가 많습니다. 영역을 스케치하고, 원하는 안쪽-바깥쪽 평면에 투영한 다음, 경계를 다시 유도하세요.
풀이 예제: 구의 부피
구면 좌표에서 단위 구 {x²+y²+z² ≤ 1}:
V = ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
= ∫₀²π ∫₀π [ρ³/3]₀¹ sin(φ) dφ dθ
= ∫₀²π ∫₀π (1/3) sin(φ) dφ dθ
= ∫₀²π (1/3)[-cos(φ)]₀π dθ
= ∫₀²π (2/3) dθ
= 4π/3
유명한 V = (4/3)πr³이 깔끔한 세 단계로 나옵니다 — 직교에서는 같은 적분이 여러 페이지입니다.
수치 대체
일부 적분은 닫힌 형태의 부정적분이 없습니다. 기호 적분이 실패하면 계산기가 수치 구적법으로 전환해 오차 추정과 함께 근사값을 반환합니다.
자주 묻는 질문
대개 경계가 틀렸습니다. 삼중적분 경계는 안쪽 변수에 의존할 수 있으며, 순서를 잘못 매기면 수학적으로 다른 적분이 나옵니다. 영역을 먼저 스케치한 다음 경계를 신중히 유도하세요.
계산기가 수치 방법(적응형 구적법)으로 전환합니다. 기호 식 대신 오차 한계가 있는 수치 답을 얻습니다.
영역이 한 점에 대해 완전한 3D 대칭(구, 한 점에서의 원뿔)일 때 구면. 축 대칭(원기둥, 축 둘레의 회전체)일 때 원통. 둘 다 아닐 때 직교.
아니요. 모든 계산은 브라우저에서 실행됩니다.
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