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고윳값 계산기

단계 1 / 4 행렬 A
첫 번째 행

이 고윳값 계산기는 네 개의 성분만 입력하면 실수 2×2 행렬을 풀어 줍니다. 대각합, 행렬식, 특성 다항식, 판별식, 고윳값을 계산하고, 두 고윳값이 서로 다른 실수일 때는 실수 고유벡터까지 보여 줍니다. 선형대수 과제, 공학 모델의 빠른 점검, 작은 행렬을 손으로 대각화하기 전 검산에 알맞습니다.

고윳값을 구하는 방법

  1. 1

    행렬 성분 입력

    행렬 A = [[a, b], [c, d]]의 a, b, c, d를 입력하세요. 소수와 음수도 사용할 수 있습니다.

  2. 2

    특성 방정식 세우기

    계산기는 대각합 T = a + d와 행렬식 D = ad - bc를 이용해 λ² - Tλ + D = 0을 만듭니다.

  3. 3

    근 분류하기

    판별식 T² - 4D에 따라 고윳값이 서로 다른 두 실수인지, 중근인지, 켤레복소수 쌍인지가 정해집니다.

2×2 행렬 공식

A = [[a, b], [c, d]]일 때 고윳값은 다음 방정식의 근입니다.

det(A - λI) = 0

이 행렬식을 전개하면 다음과 같습니다.

λ² - Tλ + D = 0

여기서:

  • T = a + d는 대각합(트레이스)입니다.
  • D = ad - bc는 행렬식입니다.
  • Δ = T² - 4D는 판별식입니다.

따라서:

λ = (T ± sqrt(Δ)) / 2

계산 예시

A = [[2, 1], [1, 2]]이면 대각합은 T = 2 + 2 = 4, 행렬식은 D = 2·2 - 1·1 = 3입니다. 특성 다항식은 다음과 같습니다.

λ² - 4λ + 3 = 0

판별식은 Δ = 4² - 4·3 = 4이므로 고윳값은 다음과 같습니다.

λ₁ = (4 + 2) / 2 = 3

λ₂ = (4 - 2) / 2 = 1

고윳값 3에 대응하는 고유벡터의 하나는 [1, 1]이고, 고윳값 1에 대응하는 고유벡터의 하나는 [1, -1]입니다. 이 벡터들의 0이 아닌 스칼라배도 모두 올바른 고유벡터입니다.

판별식이 뜻하는 것

판별식 Δ 고윳값의 경우 예상되는 결과
Δ > 0 서로 다른 두 실수 고윳값 서로 다른 두 실근이 나옵니다. 2×2 행렬이 실수 범위에서 대각화 가능하면 독립인 고유벡터가 두 개 생깁니다.
Δ = 0 중근 고윳값 중근이 하나입니다. 고유공간의 차원은 1일 수도, 2일 수도 있으므로 대각화가 필요하다면 고유벡터를 따로 확인하세요.
Δ < 0 켤레복소수 쌍 실수 고윳값이 없습니다. 두 근은 실수부가 같고 허수부의 부호가 반대입니다.

자주 하는 실수

  • A - λI를 잘못 세우기. 바뀌는 것은 대각 성분뿐입니다: a - λ와 d - λ.
  • 행렬식의 부호를 빠뜨리기. 2×2 행렬에서는 ad + bc가 아니라 D = ad - bc입니다.
  • 중근 고윳값을 무조건 대각화 가능하다고 여기기. 중근이라도 독립인 고유벡터가 충분히 있어야 합니다.
  • 너무 일찍 반올림하기. 특히 소수를 다룰 때는 대각합, 행렬식, 판별식을 가능한 한 정확한 값으로 유지하세요.

자주 묻는 질문

실수 2×2 행렬에 집중합니다. 덕분에 결과가 투명합니다. 모든 값이 대각합, 행렬식, 2차 특성 다항식에서 나오기 때문입니다.

가질 수 있습니다. 판별식 T² - 4D가 음수이면 고윳값은 켤레복소수 쌍이 됩니다. [[0, -1], [1, 0]] 같은 회전행렬이 대표적인 예입니다.

서로 다른 실수 고윳값일 때는 각 근마다 간단한 실수 벡터를 제시할 수 있어서 고유벡터를 보여 줍니다. 중근과 복소수 경우는 추가 설명이 필요하므로, 그때는 고윳값과 분류에 집중합니다.

파일 업로드는 전혀 없습니다. 입력한 성분은 페이지 컴포넌트가 처리해 대각합, 행렬식, 다항식, 고윳값을 계산합니다.

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