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이항분포 확률 계산기

단계 1 / 4 P(X = k)
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성공 확률이 p인 독립적인 베르누이 시행을 n번 할 때, 이항분포는 성공이 정확히 k번 일어날 확률을 알려줍니다. 이 계산기는 정확 확률 P(X = k)와 함께 꼬리 확률 P(X < k), P(X ≤ k), P(X ≥ k), P(X > k)를 한 번에 구합니다. 로그 공간 연산을 사용하므로 n = 1,000까지 정확도를 유지합니다.

이항분포 확률을 계산하는 방법

  1. 1

    n 입력(시행 횟수)

    0 이상의 정수여야 합니다. 예: 동전 던지기 10회, A/B 테스트 방문자 100명, 제조 샘플 1,000개.

  2. 2

    p 입력(성공 확률)

    0과 1 사이의 값입니다. 공정한 동전은 p = 0.5, 클릭률 12%는 p = 0.12입니다.

  3. 3

    k 입력(목표 성공 횟수)

    0부터 n까지의 정수입니다.

  4. 4

    확률 확인

    다섯 가지 확률을 보여줍니다: 정확 P(X = k), 미만 P(X < k), 이하 P(X ≤ k), 이상 P(X ≥ k), 초과 P(X > k).

공식

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1-p)^(n-k)

여기서 C(n, k)는 이항계수, 즉 “n개에서 k개를 고르는 조합의 수”입니다. 이 도구는 n이 클 때 오버플로를 피하기 위해 로그 공간 연산을 사용합니다.

풀이 예시: 동전 던지기 10회에서 앞면이 정확히 7회

  • n = 10, p = 0.5, k = 7
  • C(10, 7) = 120
  • P(X = 7) = 120 · 0.5^7 · 0.5^3 = 120 / 1024 ≈ 0.1172

따라서 동전을 10번 던져 앞면이 정확히 7번 나올 확률은 약 11.7%입니다.

이항분포가 적용되는 경우

네 가지 베르누이 가정이 모두 성립해야 합니다.

  1. 시행 횟수가 고정(n이 미리 정해져 있음).
  2. 각 시행이 독립(각 시행이 서로 영향을 주지 않음).
  3. 결과가 두 가지뿐(각 시행은 성공 또는 실패).
  4. 성공 확률 p가 일정(모든 시행에서 p가 변하지 않음).

하나라도 깨지면(비복원 종속 추출, 변하는 p, 두 가지보다 많은 결과) 대신 초기하분포, 푸아송 이항분포, 다항분포를 사용하세요.

평균, 분산, 정규근사

  • 평균: μ = np
  • 분산: σ² = np(1-p)
  • 표준편차: σ = √(np(1-p))

np ≥ 10이고 n(1-p) ≥ 10이면 이항분포는 연속성 보정을 적용한 정규분포 Normal(μ, σ²)로 잘 근사됩니다. 이 조건은 n이 클 때 빠른 대조 방법으로 쓰면 됩니다. 계산기는 항상 정확한 값을 반환합니다.

자주 묻는 질문

P(X = k)는 성공이 정확히 k번 나올 확률이고, P(X ≤ k)는 성공이 최대 k번까지일 누적 확률입니다. 공정한 동전을 10번 던질 때 P(X = 5) ≈ 0.246이지만 P(X ≤ 5) ≈ 0.623입니다.

네. 계산기는 P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1)을 반환합니다. “k보다 많이”라면 하나 더 빼서 P(X > k) = P(X ≥ k+1)입니다.

안내 절차에서는 1,000까지 입력할 수 있습니다. 로그 공간 연산 덕분에 안정적이며, 동전 던지기, 설문, A/B 테스트의 일반적인 규모를 충분히 다룹니다. 그 이상에서는 정규근사 또는 푸아송 근사(p가 작고 n이 클 때 유효)를 사용하세요.

그 경우 일반 이항분포가 아니라 푸아송 이항분포가 필요합니다. 이 계산기는 모든 n번의 시행에 걸쳐 하나의 일정한 p를 가정합니다.

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