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정규분포 계산기

단계 1 / 3 확률
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계산기에 평균과 표준편차, 그리고 원래 값 또는 확률을 입력하면 z점수, 곡선 아래 면적(누적 확률), 그에 해당하는 백분위수를 돌려줍니다. 왼쪽 꼬리, 오른쪽 꼬리, 양쪽 꼬리 확률을 모두 다루므로 대학 1학년 통계 문제집이나 품질관리 보고서에 필요한 값은 대부분 여기서 얻을 수 있습니다.

정규분포 확률을 계산하는 방법

  1. 1

    평균과 표준편차를 입력하세요

    표준정규분포라면 평균 0, 표준편차 1을 사용합니다. IQ라면 평균 100, 표준편차 15를 사용합니다.

  2. 2

    문제 유형을 선택하세요

    P(X < x), P(X > x), P(a < X < b), 또는 확률이 주어졌을 때 x를 구하는 유형 중에서 고릅니다.

  3. 3

    값 또는 확률을 입력하세요

    분포 안의 원래 값이거나, 0.05 같은 꼬리 확률이면 됩니다.

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    z점수와 확률을 확인하세요

    이 도구는 z점수, 누적 확률, 백분위수를 함께 표시합니다.

공식

z점수는 모든 값을 표준화합니다.

z = (x − μ) / σ

누적분포함수 Φ(z)는 표준정규 확률변수가 z보다 작을 확률을 나타냅니다. Φ는 닫힌 형태의 해가 없기 때문에 계산기는 수치 근사를 사용하며, 가장 널리 쓰이는 것은 아브라모위츠와 스티건의 유리 다항식 근사로 소수점 아래 일곱 자리까지 정확합니다.

경험 법칙 (68-95-99.7)

구간 확률
μ ± 1σ 68.27%
μ ± 2σ 95.45%
μ ± 3σ 99.73%
μ ± 1.96σ (전통적인 95% 신뢰구간) 95.00%
μ ± 2.576σ (99% 신뢰구간) 99.00%

자주 쓰는 임계 z값

  • 단측검정 α = 0.05: z = 1.645
  • 양측검정 α = 0.05: z = ±1.96
  • 양측검정 α = 0.01: z = ±2.576
  • 양측검정 α = 0.001: z = ±3.291

빠른 해석 요령

  • 양의 z값은 평균보다 위, 음의 z값은 평균보다 아래를 뜻합니다.
  • |z| > 2는 흔치 않은 영역으로, 전체 분포의 약 5%에 해당합니다.
  • |z| > 3은 매우 드물어 약 0.3%이며, 제조 현장에서 이상치 기준으로 자주 쓰입니다.
  • 백분위수는 Φ(z) × 100입니다. z = 1.0은 84번째 백분위수에 해당합니다.

어디에 쓰이나

표준화 시험 채점(SAT, IQ), 품질관리(6시그마), 금융 리스크 모형(VaR는 정규성을 가정하는데 잘못된 경우가 많습니다), 그리고 수많은 실험과학의 가설검정이 모두 정규분포 확률에 기대고 있습니다.

자주 묻는 질문

중심극한정리 때문입니다. 서로 독립인 확률변수를 많이 더하거나 평균 내면, 원래 분포가 무엇이든 그 결과는 정규분포에 가까워집니다. 그래서 현실의 여러 과정에서 나온 표본평균을 정규분포로 잘 근사할 수 있습니다.

정확히 그런 경우는 드물고, 대개 근사적으로만 그렇습니다. 키, 측정 오차, IQ 점수는 정규분포에 가깝습니다. 반면 금융 수익률, 대기 시간, 자연에서 세는 값들은 그렇지 않습니다. 꼬리가 더 두껍거나 한쪽으로 치우쳐 있기 때문입니다. 가정하기 전에 반드시 그래프를 그려 보세요.

“이 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는가”입니다. z = +2는 “평균보다 표준편차 두 개 위”라는 뜻이고, 분포가 정규분포라면 약 97.7번째 백분위수에 해당합니다.

|z| < 6 구간에서는 소수점 아래 일곱 자리 정도까지 정확한 수치 근사를 사용합니다. 그 바깥에서는 확률이 너무 작아 배정밀도 부동소수점의 정밀도가 바닥나므로, 꼬리 깊숙한 곳을 다룰 때는 임의정밀도 소프트웨어를 사용하세요.

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