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행렬 곱셈 계산기

단계 1 / 3
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행렬 A(m×n)와 행렬 B(n×p)를 입력하세요. A의 열이 B의 행과 맞으면, 계산기가 곱 AB, 즉 m×p 행렬을 반환합니다. 결과의 모든 항목은 A의 한 행과 B의 한 열의 내적입니다, 그리고 도구가 그 내적 합 각각을 명시적으로 보여주므로, 아무것도 믿음으로 받아들이지 않고 대수를 따라갈 수 있습니다.

행렬 곱셈이 작동하는 방식

  1. 1

    차원 설정

    A와 B의 행/열. A의 열은 B의 행과 같아야 합니다.

  2. 2

    값 입력

    각 셀을 채우세요; 소수와 음수가 허용됩니다.

  3. 3

    곱 읽기

    C = A·B, 차원은 행(A) × 열(B).

  4. 4

    셀 하나 펼치기

    아무 C_ij를 탭하면 내적 row_i(A) · col_j(B)와 나열된 각 곱을 봅니다.

규칙

(AB)_ij = Σ_k A_ik · B_kj

곱의 항목 (i, j)는 A의 행 i와 B의 열 j를 짝지은 곱들의 합입니다.

풀이된 2×2 예시

A = [[1, 2], [3, 4]], B = [[5, 6], [7, 8]].

  • C_11 = 1·5 + 2·7 = 5 + 14 = 19
  • C_12 = 1·6 + 2·8 = 6 + 16 = 22
  • C_21 = 3·5 + 4·7 = 15 + 28 = 43
  • C_22 = 3·6 + 4·8 = 18 + 32 = 50

AB = [[19, 22], [43, 50]].

다른 순서 확인: BA = [[23, 34], [31, 46]]. AB와 같지 않음, 행렬 곱셈은 교환 법칙이 성립하지 않습니다.

차원 호환성

A 차원 B 차원 호환? 곱 차원
2×3 3×4 예 2×4
3×3 3×3 예 3×3
2×3 4×3 아니오 -
1×n n×1 예 1×1 (스칼라)
n×1 1×n 예 n×n (외적)

성질

  • 결합 법칙: A(BC) = (AB)C.
  • 분배 법칙: A(B + C) = AB + AC.
  • 교환 법칙 안 됨: 일반적으로 AB ≠ BA.
  • 항등원: AI = IA = A, 여기서 I는 적절한 크기의 항등 행렬.
  • 영 행렬: A · 0 = 0, 그러나 주의, AB = 0이라고 A = 0이나 B = 0을 뜻하지는 않습니다.

응용에서 순서가 중요한 이유

  • 컴퓨터 그래픽스: 변환 행렬은 오른쪽에서 왼쪽으로 합성됩니다. M_screen = M_projection · M_view · M_model. 스케일과 회전을 바꾸면 다른 결과가 나옵니다.
  • 회전: X 다음 Y로 회전하는 것은 Y 다음 X와 같지 않습니다.
  • 마르코프 체인: 전이 행렬 곱하기 상태 벡터가 한 단계 진행합니다; 순서를 바꾸면 무의미합니다.

계산 복잡도

두 n×n 행렬의 표준 교과서 곱셈은 O(n³) 연산입니다. Strassen 알고리즘은 O(n^2.81)로 낮추고 이론적 한계는 더 낮지만, 수백 미만 크기의 행렬에서는 캐시 친화적 접근 패턴 덕분에 교과서 방식이 실무에서 가장 빠릅니다.

자주 묻는 질문

첫 번째의 열이 두 번째의 행과 맞아야 합니다. 2×3 · 2×3은 A의 열이 3개인데 B의 행이 2개라 실패합니다. B를 전치해야 합니다: 2×3 · 3×2는 괜찮고 2×2를 만듭니다.

스칼라 곱하기 행렬은 일반 행렬 계산기를 쓰세요, 이 도구는 두 행렬을 곱하는 전용입니다.

AB의 각 항목이 A의 행과 B의 열의 내적이기 때문입니다; 바꾸면 다른 행을 다른 열과 내적합니다. 특수한 쌍(A와 그 자신의 역행렬, A와 항등 행렬, 서로 다른 항목의 대각 행렬)만 우연히 교환됩니다.

네. 1×n 행 곱하기 n×1 열은 1×1 스칼라(내적)입니다. 반대로 n×1 곱하기 1×n은 n×n 외적, 랭크 1 행렬을 만듭니다.

아니요. 곱셈은 브라우저에서 실행되며 값은 절대 기기를 떠나지 않습니다.

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