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극한 계산기

단계 1 / 3 극한값
다음

x가 점 a에 접근할 때 함수 f(x)의 극한은 f(a) 자체의 존재 여부와 관계없이 f(x)가 수렴해가는 값을 나타냅니다. 이 계산기는 다항식, 유리함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수에 대해 ±∞ 지점을 포함하여 수치적·기호적으로 극한을 계산하며, 좌측과 우측 값이 일치하지 않아 양측 극한이 존재하지 않는 경우도 알려줍니다.

극한을 계산하는 방법

  1. 1

    함수 유형 선택

    다항식, 유리식, 삼각함수(sin/cos/tan), 지수함수, 로그함수 또는 그 조합.

  2. 2

    극한점 a 입력

    실수를 입력하거나, 극단에서의 극한은 ∞ / -∞를 사용하세요.

  3. 3

    방향 선택

    양측(양쪽), 좌측(a⁻) 또는 우측(a⁺).

  4. 4

    수치 결과 확인

    좌측과 우측이 일치하지 않으면 양측 극한은 존재하지 않습니다.

극한이 잘 정의될 때와 그렇지 않을 때

대부분의 1학년 미적분 문제는 세 가지 기법에 의존합니다: 직접 대입, 대수적 단순화, 로피탈 정리. 계산기는 이 순서로 적용하며 기호 조작이 실패하면 수치 추정으로 대체합니다.

외워둘 가치가 있는 고전적 결과

극한 값
lim x→0 sin(x)/x 1
lim x→0 (1 − cos x)/x 0
lim x→0 (1 − cos x)/x² 1/2
lim x→0 (eˣ − 1)/x 1
lim x→∞ (1 + 1/x)ˣ e
lim x→0⁺ x ln(x) 0
lim x→∞ ln(x)/x 0
lim x→∞ (다항식)/eˣ 0

양측 극한이 존재하지 않는 경우

“존재하지 않음”을 일으키는 세 가지 패턴:

  • 도약 불연속. x = 0에서 f(x) = sign(x): 좌측 → -1, 우측 → +1.
  • 부호가 반대인 수직 점근선. x = 0에서 f(x) = 1/x: 좌측 → -∞, 우측 → +∞.
  • 진동. x = 0에서 f(x) = sin(1/x): 점에 임의로 가까운 곳에서 값이 -1과 1 사이를 진동합니다.

양측 극한이 존재하지 않는 곳에서도 단측 극한은 존재할 수 있습니다. 계산기는 각 측을 따로 보고하므로 발산을 확인할 수 있습니다.

로피탈 정리: 주의해서 사용

대입했을 때 0/0 또는 ∞/∞가 나오면, 분자와 분모를 각각 미분하면 종종 해결됩니다. 하지만 이 정리는 다음을 요구합니다:

  • 두 극한(분자와 분모)이 진정으로 0이거나 둘 다 ∞여야 합니다.
  • 도함수 비율 자체가 극한을 가져야 합니다.
  • 함수가 그 점 근처에서 미분 가능해야 합니다.

부정형이 아닌 형태에 로피탈을 잘못 적용하면 틀린 답이 나옵니다. 항상 형태를 먼저 확인하세요.

수치 대 기호

계산기는 단순한 대수적 형태(다항식, 유리식)에는 정확한 산술을 사용합니다. 초월식의 경우 a에 접근하는 점들의 수열에서 함수를 계산하여 소수점 8자리까지 수렴한 값을 보고합니다. 수열이 수렴하지 않으면 결과는 부정형으로 표시됩니다.

자주 묻는 질문

x가 a의 한쪽에서만 접근할 때 f(x)가 접근하는 값입니다. 좌극한(x → a⁻)은 a보다 작은 값을, 우극한(x → a⁺)은 a보다 큰 값을 사용합니다. 양측 극한은 둘이 일치할 때만 존재합니다.

네, 극한점으로 ∞ 또는 -∞를 입력하세요. 유리함수는 차수를 비교하고, 지수함수와 로그함수는 표준 점근 순위를 사용합니다.

x가 점에 접근할 때 함수가 하나의 유한한 값으로 수렴하지 않는다는 뜻입니다. 값이 무한대로 가거나, 좌측과 우측이 일치하지 않거나, 값이 수렴 없이 진동하기 때문에 발생할 수 있습니다.

아니요. 입력한 식은 브라우저에서 파싱·계산되며 어디에도 전송되지 않습니다.

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