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벡터 사영 계산기

단계 1 / 3 벡터 사영 계산기

성분을 쉼표, 공백 또는 세미콜론으로 구분해 입력하세요. 소수는 점을 사용합니다.

다음: 벡터 b

벡터 a를 벡터 b에 사영(정사영)한다는 것은 a 중에서 b 방향을 따르는 부분을 구한다는 뜻으로, b를 지나는 직선 위에 a가 드리우는 그림자라고 생각하면 됩니다. 두 벡터의 성분을 입력하면 사영 벡터, 스칼라 사영, 남은 수직 성분, 내적, 두 벡터 사이의 각을 계산해 드립니다. 2차원과 3차원은 물론 최대 20개 성분까지 지원합니다. b가 영벡터이면 사영할 방향이 없으므로 그 사실을 알려 드립니다.

한 벡터를 다른 벡터에 사영하는 방법

  1. 1

    벡터 a 입력하기

    사영할 벡터의 성분을 쉼표, 공백 또는 세미콜론으로 구분해 입력하세요. 예: 3, 4 또는 1, 2, 3. 소수점은 점(.)을 사용합니다.

  2. 2

    벡터 b 입력하기

    방향을 정하는 벡터를 입력하세요. 성분의 개수는 a와 같아야 하며, 모든 성분이 0이면 안 됩니다.

  3. 3

    사영 결과 확인하기

    결과 페이지에서 a를 b에 사영한 벡터, 스칼라 사영, 수직 성분, 사잇각, 내적, 사영의 길이를 볼 수 있습니다. 사영 벡터는 복사할 수 있습니다.

벡터 사영 공식이 말하는 것

벡터 a를 벡터 b에 사영한 벡터는 다음과 같습니다.

proj_b(a) = (a · b / |b|²) b

여기서 a · b는 내적이고, |b|²는 b와 b 자신의 내적입니다. 분수는 b에 곱해지는 하나의 수이므로 사영은 항상 b를 지나는 직선 위에 놓입니다. 이 분수가 음수이면 사영은 b와 반대 방향을 가리키는데, 두 벡터 사이의 각이 90도보다 클 때 그렇게 됩니다.

계산기가 알려 주는 값

결과 공식 의미
사영 (a · b / |b|²) b a의 b 방향 성분을 벡터로 나타낸 것
스칼라 사영 a · b / |b| 그 성분의 부호가 있는 길이
수직 성분 a - proj_b(a) a에서 b에 수직인 나머지 부분
사잇각 arccos(a · b / (|a| |b|)) 0도에서 180도 사이
사영의 길이 |a · b| / |b| 부호를 뗀 스칼라 사영

사영과 수직 성분을 더하면 다시 a가 됩니다. 이것이 분해의 핵심으로, a가 b를 따르는 부분과 b에 직각인 부분으로 나뉩니다.

계산 예시

a b 사영 스칼라 사영 사잇각
(3, 4) (5, 0) (3, 0) 3 53.130102°
(2, 3) (0, 5) (0, 3) 3 33.690068°
(1, 0) (-2, 0) (1, 0) -1 180°
(1, 0) (0, 1) (0, 0) 0 90°
(1, 2, 3) (4, -5, 6) (0.623377, -0.779221, 0.935065) 1.367527 68.562447°

첫 번째 행에서 a · b = 3 × 5 + 4 × 0 = 15이고 |b|² = 25이므로 계수는 0.6이며, 사영은 0.6 × (5, 0) = (3, 0)입니다. 수직 성분은 (3, 4) - (3, 0) = (0, 4)로, (5, 0)과 수직입니다.

스칼라 사영과 벡터 사영의 차이

스칼라 사영은 부호가 있는 수 하나이고, 벡터 사영은 그 수에 b의 단위벡터를 곱한 것입니다. 교재에 따라 스칼라 사영을 a의 b 방향 성분이라고 부르기도 합니다. 또 어떤 책은 스칼라 쪽을 가리켜 그냥 사영이라고 하므로, 답을 옮겨 적기 전에 수업이나 교재에서 어느 쪽을 뜻하는지 확인하세요.

자주 하는 실수

  • 사영할 대상을 바꿔 쓰는 경우. 일반적으로 proj_b(a)와 proj_a(b)는 서로 다른 벡터입니다.
  • 차원을 맞추지 않는 경우. 두 벡터는 성분의 개수가 같아야 합니다.
  • b = (0, 0)을 쓰는 경우. 공식이 |b|²로 나누기 때문에 영벡터는 사영이 없습니다.
  • 부호를 놓치는 경우. 스칼라 사영이 음수이면 a가 b에서 멀어지는 쪽으로 기울어 있다는 뜻입니다.

자주 묻는 질문

숫자 대신 오류 메시지가 표시됩니다. 사영은 b 길이의 제곱으로 나누는 계산인데, 영벡터의 길이는 0이어서 사영할 방향이 없습니다. 0이 아닌 성분이 하나 이상 있는 b를 다시 입력해 주세요.

네. 사영과 수직 성분은 모두 영벡터가 되고 스칼라 사영은 0입니다. 사잇각은 정의되지 않음으로 표시됩니다. 각을 구하려면 방향이 있는 두 벡터가 필요하기 때문입니다.

1개에서 20개까지입니다. 2차원이면 숫자 두 개, 3차원이면 세 개, 더 높은 차원이면 그보다 많이 입력하세요. 벡터 a와 b의 성분 개수가 같아야 하며, 다르면 수정하라는 안내가 나옵니다.

성분은 쉼표, 공백 또는 세미콜론으로 구분하고 소수점은 점(.)으로 씁니다. 괄호는 무시되므로 3, 4와 (3; 4) 모두 입력할 수 있습니다. 1.5e-3 같은 지수 표기도 사용할 수 있습니다.

a와 b 사이의 각이 90도보다 커서 a가 부분적으로 b의 반대쪽을 향하기 때문입니다. 이 경우 벡터 사영은 b와 반대 방향을 가리키고 내적도 음수가 됩니다.

네. 수직 성분은 a에서 사영을 뺀 것이며, b와의 내적은 아주 작은 반올림 오차를 제외하면 0입니다. 결과는 소수점 아래 여섯 자리까지 표시하므로 53.130102도 같은 정확한 값은 반올림되어 있습니다.

사영은 a를 b를 지나는 직선 위로 떨어뜨립니다. 반사는 a를 그 직선에 대해 대칭 이동한 것으로, 사영의 두 배에서 a를 뺀 값과 같습니다. 이 계산기는 사영과 수직 성분을 알려 주므로, 반사는 그 값으로 직접 구할 수 있습니다.

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