RREF 계산기

기약 행 사다리꼴이란

행렬이 기약 행 사다리꼴이려면 0이 아닌 각 행의 첫 번째 0이 아닌 원소가 1이어야 하고, 아래 행의 선도 1은 위 행의 선도 1보다 오른쪽에 있어야 합니다. 피벗이 있는 열에서 피벗 외의 원소는 모두 0이어야 하며, 모든 영행은 아래쪽에 놓입니다. 이 선도 1이 피벗입니다.

RREF는 행렬의 수치 구조를 일관된 형태로 드러냅니다. 피벗이 놓인 열은 피벗 열이고 나머지는 자유 열입니다. 랭크는 피벗의 개수입니다. 열이 n개인 행렬에서 이 계산기가 표시하는 영공간 차원은 n에서 랭크를 뺀 값이며 자유 열의 개수와도 같습니다.

열 번호는 1부터 시작합니다. 피벗 열이 1과 3이라고 나오면 입력 행렬의 첫 번째 열과 세 번째 열을 뜻합니다.

표시되는 기본 행 연산

계산기는 다음 세 가지 표준 기본 행 연산을 사용합니다.

• 두 행을 서로 바꿉니다.
• 한 행에 0이 아닌 수를 곱합니다.
• 한 행을 그 행에서 다른 행의 배수를 뺀 행으로 바꿉니다.

각 피벗 열에서는 남은 행 가운데 피벗 후보의 절댓값이 가장 큰 행을 선택합니다. 이 부분 피벗 선택은 더 큰 값을 쓸 수 있는데도 작은 값으로 나누는 일을 피하기 위한 수치적 안전장치입니다. 선택한 행을 제자리로 옮기고 피벗을 1로 만든 다음 피벗 위와 아래의 원소를 소거합니다. 그때마다 생기는 행렬이 행 연산 목록에 표시됩니다.

올바른 행 연산 순서는 여러 가지일 수 있어 중간 과정은 달라질 수 있습니다. 하지만 최종 기약 행 사다리꼴은 유한 정밀도 연산에서 생기는 아주 작은 차이를 제외하면 같습니다.

수치 예제

기본 행렬

의 기약 행 사다리꼴은 다음과 같습니다.

피벗은 1열과 3열에 두 개 있으므로 랭크는 2입니다. 2열은 자유 열이고 영공간 차원은 3 - 2 = 1입니다. 계산기는 최종 행렬만 보여 주는 대신 이 결과에 도달할 때 사용한 행 연산 순서도 표시합니다.

랭크, 영공간 차원, 피벗 열과 자유 열

랭크는 기약 행렬의 피벗 위치 수입니다. 이는 행렬 열공간의 차원이며 RREF에 있는 0이 아닌 행의 수와도 같습니다.

영공간 차원은 행렬의 영공간이 가진 차원입니다. 랭크가 r인 m × n 행렬에는 다음 관계가 성립합니다.

랭크 + 영공간 차원 = 열의 수, 즉 r + 영공간 차원 = n입니다.

계산기는 수치 행 축약에서 이 값을 직접 정합니다. 자유 열이 없으면 영공간 차원은 0입니다. 가로로 넓은 행렬은 자유 열이 여러 개일 수 있고, 종속된 행이나 영행이 있는 행렬은 랭크가 행의 수보다 작을 수 있습니다.

입력 규칙과 수치 허용 오차

텍스트 한 줄에 행렬 한 행을 입력하세요. 한국어 페이지에서는 공백, 쉼표, 세미콜론, 세로줄을 원소 구분자로 쓸 수 있습니다. 빈 줄은 무시하지만 비어 있지 않은 모든 행의 원소 수는 같아야 합니다. 정수, 소수 또는 2.5e-3 같은 과학적 표기법을 사용할 수 있습니다. 각 값은 유한해야 하며 -1,000,000 이상 1,000,000 이하여야 합니다.

계산에는 부동소수점 연산을 사용합니다. 축약 중 절댓값이 1e-10보다 작아진 값은 0으로 처리합니다. 이 허용 오차는 아주 작은 반올림 잔여값이 거짓 피벗으로 나타나는 것을 막지만, 수치적으로 특이행렬에 가까운 경우에는 수업이나 응용 분야에서 요구하는 정밀도에 맞춰 결과를 다시 확인해야 합니다.

이 계산기가 하지 않는 일

이 도구는 수치 행렬 축약기이지 기호 대수 시스템이 아닙니다. 변수, 식으로 쓴 분수, 근호 또는 수식을 입력할 수 없습니다. 행렬식이나 역행렬을 계산하지 않으며 매개변수 해를 만들거나, 행을 방정식으로 바꾸거나, 별도로 설명한 연립방정식의 일관성을 판단하지 않습니다.

숫자로 된 첨가행렬을 입력해 행 축약을 살펴볼 수는 있지만 모든 열을 하나의 행렬로 취급합니다. 첨가 경계를 알아내거나 마지막 열을 상수로 해석하지 않습니다. 표시된 RREF와 열 정보를 확인한 뒤 자신의 선형대수 문제에서 요구하는 규칙을 적용하세요.