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부분분수 분해 계산기

단계 1 / 3 부분분수 분해 계산기

x, 정수, +, -, *, ^와 괄호를 사용할 수 있습니다. 곱셈은 3*x처럼 명시하세요.

다음: 분모 입력

지원하는 유리식을 다항식의 몫과 더 단순한 분수들의 합으로 바꿉니다. 분자와 분모를 각각 입력하고 정확한 계수와 다시 결합해 검증한 항등식을 확인하세요.

유리식을 부분분수로 분해하는 방법

  1. 1

    분자 입력

    x+7 또는 x^2+3*x+1처럼 x를 사용한 다항식을 입력하세요. 곱셈에는 *를 사용합니다.

  2. 2

    분모 입력

    (x-3)*(x+2)처럼 차수가 1~4인 영이 아닌 다항식을 입력하세요.

  3. 3

    항등식 확인

    다항식의 몫, 부분분수 항과 정확한 계수 항등식을 확인하세요. 정의역은 원래 분모에 따라 정해집니다.

하나의 분수식을 더 간단한 항으로 나누기

부분분수 분해는 유리식을 더 간단한 분수의 합으로 나타내는 방법입니다. 분모에 서로 다른 일차인수가 있으면 각 인수에 대응하는 분수의 분자는 상수입니다. 인수가 반복되면 각 거듭제곱에 대응하는 항이 필요합니다. 기약 이차인수에 대응하는 분자는 일차식입니다. OpenStax 교재에서는 이러한 형태와 계수를 비교해 구하는 방법을 설명합니다.

예를 들어 (x+7)/((x-3)*(x+2)) = 2/(x-3) - 1/(x+2)입니다. 오른쪽 두 항을 통분하면 (2*(x+2)-(x-3))/((x-3)*(x+2)) = (x+7)/((x-3)*(x+2))입니다. 이 항등식은 원래 분모가 0이 아닌 x에서만 성립합니다. 따라서 x가 3 또는 -2이면 제외됩니다.

지원하는 다항식 입력하기

정수 계수, x, 괄호와 연산자 +, -, *, ^를 사용할 수 있습니다. 곱셈은 3*x 또는 (x-2)*(x+1)처럼 명시하세요. 분자와 분모를 따로 입력하며 분수를 나타내는 슬래시는 입력하지 않습니다. 전개한 형태와 인수분해한 형태를 모두 사용할 수 있습니다. 예를 들어 x^2-5*x+6과 (x-2)*(x-3)은 같은 다항식입니다.

분자는 최대 6차까지 입력할 수 있습니다. 분모는 1차부터 4차까지 가능합니다. 입력 다항식과 계산 중간에 생성되는 다항식의 각 계수의 절댓값은 1,000,000 이하여야 합니다. 분모의 일차인수는 입력한 정수 계수로 가능한 모든 유리근을 가질 수 있으며 중근도 허용됩니다. OpenStax의 유리근 정리 해설에 따르면 유리근의 후보는 분자가 상수항의 약수이고 분모가 최고차항 계수의 약수인 분수입니다. 남는 인수가 판별식이 음수인 이차식이라면 하나까지 지원합니다. 이 이차식에는 실근이 없습니다. 무리수인 실근이나 여러 개의 이차인수가 필요한 분모는 지원 범위를 벗어납니다. 입력 계수는 정수여야 하지만 결과의 계수는 정확한 분수로 표시될 수 있습니다.

입력 분수식 분해 결과
3*x/((x+2)*(x-1)) 2/(x+2) + 1/(x-1)
(-x^2+2*x+4)/(x*(x-2)^2) 1/x - 2/(x-2) + 2/(x-2)^2
(x^2+3*x+1)/(x^2-4) 1 + (11/4)/(x-2) + (1/4)/(x+2)
1/((2*x-1)*(x+2)) (2/5)/(2*x-1) - (1/5)/(x+2)

가분수라면 계산기가 먼저 분자를 분모로 나눈 뒤 나머지를 부분분수로 분해합니다. 표시된 계수 항등식은 부분분수를 다시 결합해 나머지를 만들고, 정확한 유리수 연산으로 원래 분자와 일치하는지 확인합니다. OpenStax 미적분 교재에도 나눗셈을 먼저 하는 방법이 나와 있습니다. 대수적 항등식이 맞더라도 원래 분모 때문에 제외된 값이 다시 허용되지는 않습니다. 인수가 약분되어 사라져도 마찬가지입니다.

자주 묻는 질문

네. 분자와 분모를 따로 입력하세요. 계산기가 다항식 나눗셈을 수행한 후 나머지가 있으면 부분분수로 분해합니다. 몫은 부분분수와 함께 표시됩니다.

네. 유리근을 가진 일차인수라면 중복되어도 지원합니다. 예를 들어 (2x-1)^2에는 A/(2x-1)과 B/(2*x-1)^2 항이 모두 포함됩니다. 계수가 0인 항은 결과에서 생략됩니다.

분모는 1차부터 4차까지이며 유리근을 가진 일차인수로 분해할 수 있어야 합니다. 판별식이 음수인 이차인수는 하나까지 포함할 수 있습니다. 무리수인 실근이나 두 개의 기약 이차인수를 가진 분모는 지원하지 않습니다.

원래 분모가 0이 아닌 곳에서만 유효합니다. 표시된 항등식은 다항식 계산을 검증하지만, 약분된 인수가 있더라도 원래 식에서 제외된 점은 그대로 제외됩니다.

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