선형 근사 계산기

같은 개념을 가리키는 두 이름입니다. 선형화는 함수 L(x) = f(a) + f’(a)(x - a), 곧 a에서의 접선의 방정식입니다. 선형 근사는 그 식을 쓰는 일, 즉 a에 가까운 x에서 L(x)를 f(x)의 근삿값으로 사용하는 것을 말합니다. 이 계산기는 직선의 식과 근삿값을 모두 보여 줍니다.

손으로 풀 때와 같은 공식을 써서 식 그대로 미분합니다. 거듭제곱, 곱, 몫의 미분법과 합성함수의 미분법(연쇄 법칙), 그리고 sqrt, exp, ln, log, 삼각함수, 역삼각함수, abs의 도함수를 사용합니다. 그런 다음 그 도함수에 a를 대입하므로 f’(a)는 수치적으로 어림한 값이 아니라, 일반적인 부동소수점 반올림 범위 안에서 정확한 값입니다. 구한 도함수는 풀이에 표시됩니다. 가볍게 정리했을 뿐 끝까지 간단히 하지는 않으므로, 직접 구한 답과 모양이 달라도 같은 식일 수 있습니다.

여기서 log(x)는 밑이 10인 상용로그이고 ln(x)는 자연로그입니다. 고등학교 교과서와 공학용 계산기에서 쓰는 방식과 같습니다. 일부 대학 교재와 소프트웨어는 log를 자연로그로 읽으니, 문제에서 어느 쪽을 뜻하는지 확인하세요. 함수에 log가 들어 있으면 계산기가 결과를 보여 주기 전에 다시 알려 줍니다.

항상 라디안입니다. sin(x)의 도함수가 cos(x)라는 것 같은 미분 공식은 라디안에서만 성립합니다. 30도에서 계산하려면 a = pi/6을, 45도라면 pi/4를 입력하세요. 점 a와 x에는 모두 pi/6, e, sqrt(2) 같은 상수를 입력할 수 있습니다.

정해진 거리는 없습니다. a 근처에서 곡선이 얼마나 급하게 휘는지에 따라 달라집니다. 오차는 a로부터의 거리의 제곱에 비례해 커지므로, 거리를 절반으로 줄이면 오차는 약 4분의 1이 됩니다. x를 입력하고 절대 오차와 백분율 오차를 확인해 보세요. 오차가 너무 크다면 x에 더 가까운 점 a를 고르면 됩니다.

함수가 a에서 유한한 값을 갖지 않거나(0에서의 ln(x)나 1/x), 값은 있지만 유한한 기울기가 없는 경우입니다(그래프가 꺾이는 0에서의 abs(x), 접선이 수직인 0에서의 sqrt(x)). 드물게는 0에서의 x*abs(x)처럼 미분계수는 존재하지만 공식에 대입하면 0/0이 되는 경우도 있습니다. 이때도 계산기는 값을 짐작하지 않고 기울기를 구할 수 없다고 알려 줍니다. 어느 경우든 가까운 다른 점을 고르면 해결됩니다.

값은 배정밀도(유효숫자 약 15자리)로 계산하고 7자리까지 표시합니다. 등호(=)는 숫자를 반올림 없이 그대로 보여 준다는 뜻이고, 근사 기호(≈)는 반올림했다는 뜻입니다. x가 a에 아주 가까워서 근삿값과 실제 값이 15자리 가까이 일치할 때는, 오차를 의미 있는 자릿수까지만 표시합니다.

아니요. 입력한 함수와 숫자는 결과를 계산하기 위해 저희 서버로 전송되고, 단계를 이동할 때 페이지 링크에 담기므로 계산을 즐겨찾기에 추가하거나 공유할 수 있습니다. 계정이나 프로필에 저장되지는 않습니다.