초기하분포 계산기

계산이 의미하는 것

모집단 크기를 N, 모집단의 성공 개수를 K, 뽑는 항목 수를 n, 표본의 성공 개수를 X라고 합니다. 추출은 비복원추출입니다. 한 번 뽑은 항목은 다시 뽑지 않습니다.

성공 개수가 정확히 k일 확률은 다음과 같습니다.

P(X = k) = C(K, k) × C(N - K, n - k) / C(N, n)

여기서 C(a, b)는 a개에서 b개를 고르는 조합의 수입니다. 가능한 성공 개수는 max(0, n - (N - K))부터 min(n, K)까지입니다. 목표가 0과 표본 크기 사이에 있더라도 이 범위를 벗어나면 정확히 그 개수가 나올 확률은 0입니다. k개 이하는 k까지의 개별 확률을, k개 이상은 k부터 그 위의 개별 확률을 더합니다. 따라서 가능한 범위의 아래나 위에 있는 누적 사건의 확률은 0 또는 1이 될 수 있습니다.

계산 예: 20개 중 5개 뽑기

상자에 항목 20개가 있고 그중 7개에 표시가 있다고 가정합니다. 다시 넣지 않고 5개를 뽑을 때 표시된 항목이 정확히 2개일 확률을 구해 봅니다. N = 20, K = 7, n = 5, k = 2를 입력하고 정확히 k개를 선택하세요.

P(X = 2) = C(7, 2) × C(13, 3) / C(20, 5) = 21 × 286 / 15,504 = 6,006 / 15,504 ≈ 0.387384.

약 **38.74%**입니다. 사건을 k개 이하로 바꾸면 P(X ≤ 2) ≈ 0.793215, k개 이상으로 바꾸면 P(X ≥ 2) ≈ 0.594169입니다. 두 누적 사건 모두 정확히 2개인 결과를 포함합니다.

기댓값, 분산, 이항분포와의 차이

성공 개수의 기댓값은 n × K / N입니다. N > 1이면 분산은 n × (K/N) × (1 - K/N) × (N - n)/(N - 1)이고, N = 1이면 0입니다. 마지막 항은 뽑을수록 남은 모집단의 구성이 달라지는 점을 반영합니다.

초기하분포에 관한 R 문서에서 이에 해당하는 개별 확률과 누적분포 함수를 설명합니다.

각 시행이 독립이고 성공 확률이 같을 때, 예를 들어 다음에 뽑기 전에 항목을 다시 넣는다면 이항분포를 사용합니다. 유한한 모집단에서 정해진 개수를 다시 넣지 않고 뽑을 때는 초기하분포를 사용합니다. 이 계산기는 정수를 입력받아 브라우저에서 분포를 계산합니다. 단계별 입력값은 이 탭에 임시 저장됩니다. 다른 탭을 쓰거나 저장 기간이 끝나면 다시 시작해야 할 수 있습니다.

0이 아닌 확률이 극도로 작으면 일반적인 소수 표현으로 전체 값을 표시할 수 없어 10^-300 미만으로 표시될 수 있습니다. CSV에는 가능한 각 결과에 대한 확률의 상용로그도 포함되어 있어 값의 규모를 확인할 수 있습니다.