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그람-슈미트 계산기

단계 1 / 3 그람-슈미트 계산기

성분이 2~4개인 벡터를 2~4개 입력하세요. 성분은 쉼표로 구분합니다. 모든 벡터의 성분 수가 같아야 합니다. 소수점에는 점을 사용하세요.

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그람-슈미트 직교화는 벡터들의 목록을, 같은 공간을 생성하면서 서로 수직인 벡터들의 목록으로 바꾸는 방법입니다. 성분이 2~4개인 벡터를 2~4개 입력하고 직교 또는 정규직교를 선택하면, 각 사영 계수와 그로부터 만든 벡터 u_k, 그 길이, 단위벡터 e_k를 차례로 보여 줍니다. 계산은 정확한 분수로 이루어지므로, 새로운 방향을 더하지 않는 벡터는 반올림 오차에 묻히지 않고 일차종속으로 표시됩니다.

그람-슈미트 계산기 사용 방법

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    벡터를 입력하세요

    한 줄에 벡터 하나를 쓰고 성분은 쉼표로 구분합니다. 예: 1, 1, 0. 벡터는 2~4개를 사용하고, 모든 벡터의 성분 개수(2~4개)는 같아야 합니다. 소수점은 마침표를 쓰며 소수 넷째 자리까지 입력할 수 있습니다.

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    결과 종류를 고르세요

    정규직교 벡터(길이 1, 소수로 표시) 또는 직교 벡터(소수와 함께, 짧게 표현되는 경우 정확한 분수도 표시)를 선택합니다.

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    단계를 확인하세요

    결과 페이지에는 먼저 구한 기저가 나오고, 이어서 각 단계의 사영 계수, u_k, 길이의 제곱과 길이, e_k가 나옵니다. 건너뛴 벡터에는 일차종속이라고 표시됩니다.

그람-슈미트 직교화의 원리

벡터 v_1, v_2, …, v_n이 주어지면, 직교 벡터 u_1, u_2, …를 하나씩 차례로 만듭니다.

  • u_1 = v_1
  • u_k = v_k - c_k1 u_1 - c_k2 u_2 - ... - c_k,k-1 u_k-1
  • 각 사영 계수는 c_kj = (v_k · u_j) / (u_j · u_j)

사영을 빼면 v_k에서 앞서 구한 u_j 방향의 성분이 모두 제거되므로, u_k는 그 벡터들과 모두 수직이 됩니다. 각 u_k를 길이 |u_k| = √(u_k · u_k)로 나누면 길이가 1인 정규직교 벡터 e_k가 됩니다.

계산 예시

v_1 = (1, 1, 0), v_2 = (1, 0, 1), v_3 = (0, 1, 1)인 경우입니다.

단계 계산 결과
u_1 v_1 (1, 1, 0)
c_21 (v_2 · u_1) / (u_1 · u_1) = 1/2 1/2
u_2 v_2 - 1/2 u_1 (1/2, -1/2, 1)
c_31, c_32 1/2 및 1/3 1/2, 1/3
u_3 v_3 - 1/2 u_1 - 1/3 u_2 (-2/3, 2/3, 2/3)

정규직교 벡터는 e_1 ≈ (0.7071, 0.7071, 0), e_2 ≈ (0.4082, -0.4082, 0.8165), e_3 ≈ (-0.5774, 0.5774, 0.5774)입니다.

일차종속

v_k가 앞선 벡터들이 생성하는 공간 안에 이미 있다면, 사영을 모두 빼고 나면 영벡터가 남습니다. 이 계산기는 모든 수를 분수로 다루기 때문에 허용 오차 없이 이를 정확히 판별합니다. 해당 벡터는 일차종속으로 표시되고 건너뛰며, 이후의 벡터는 지금까지 찾은 일차독립 벡터들에 대해 직교화됩니다. 차원보다 벡터가 많으면(예: 평면에서 벡터 세 개) 적어도 하나는 항상 일차종속입니다.

이 계산기가 다루는 범위

  • 성분이 2~4개이고 길이가 모두 같은 벡터 2~4개, 성분의 절댓값은 1,000,000 이하, 소수 넷째 자리까지.
  • 직교 벡터는 소수로 표시하고, 짧게 표현되는 경우 정확한 분수도 함께 보여 줍니다. 단위벡터는 제곱근이 필요하므로 소수로만 표시합니다.
  • 실수의 표준 내적을 사용합니다. 복소수 벡터, 다른 내적, 더 큰 크기는 지원하지 않습니다.

자주 묻는 질문

직교 벡터는 서로 수직이어서 어떤 두 벡터를 골라도 내적이 0입니다. 정규직교 벡터는 직교이면서 길이도 모두 1입니다. 각 직교 벡터 u_k를 그 길이로 나누면 정규직교 집합이 됩니다.

계산기는 종속된 벡터에 표시를 하고, 그 나머지 u_k가 영벡터임을 설명한 뒤 건너뜁니다. 그다음 벡터들은 찾아낸 일차독립 벡터들에 대해 직교화됩니다. 결과 페이지에는 입력한 벡터 중 새로운 방향을 더하는 벡터가 몇 개인지도 표시됩니다.

네, 중요합니다. 그람-슈미트는 첫 번째 벡터의 방향을 유지하고 나머지를 거기에 맞춰 조정하므로, 순서가 달라지면 얻는 직교 집합도 달라집니다. 다만 어느 쪽이든 생성하는 공간은 같습니다.

입력값은 정확한 분수로 바뀌고 사영도 반올림 없이 계산되므로 일차종속을 확실하게 판별할 수 있습니다. 직교 벡터는 읽기 좋을 만큼 짧은 경우 정확한 분수로도 표시됩니다. 단위벡터는 제곱근이 필요해서 소수 넷째 자리까지 반올림한 소수로 나타납니다.

입력한 벡터는 결과를 계산하기 위해 서버로 전송되고, 단계를 넘어갈 때 페이지 링크에 추가되므로 계산을 북마크하거나 공유할 수 있습니다. 계정이나 프로필에는 저장되지 않습니다.

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