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등비수열 계산기

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등비수열은 각 항이 바로 앞 항에 공비라고 하는 일정한 값을 곱한 값이 되는 수의 나열입니다. 첫째항, 공비, 원하는 항의 개수를 입력하면 이 계산기가 제n항, 첫 n개 항의 합, 그리고 수열 자체의 미리보기를 돌려줍니다. 입력하는 동안 브라우저 안에서 모든 값이 즉시 갱신되므로 거듭제곱과 거듭제곱근을 손으로 계산하지 않고도 증가, 감소, 복리 패턴을 살펴볼 수 있습니다. 정수, 소수, 소수로 쓴 분수, 그리고 감소하는 수열을 위한 1보다 작은 공비를 지원합니다.

등비수열 계산기 사용법

  1. 1

    첫째항과 공비 입력하기

    첫째항(a₁)과 공비(r)를 입력하세요. 공비가 1보다 크면 수열이 커지고, 0과 1 사이이면 작아집니다.

  2. 2

    항의 개수 선택하기

    항의 개수(n)를 설정하세요. 계산기가 제n항을 구하고 첫 n개 항을 대신 더해 줍니다.

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    결과 확인하기

    제n항, 부분합, 수열 미리보기가 표시되며, 입력을 바꿀 때마다 모두 다시 계산됩니다.

공식

등비수열에서 각 항은 앞 항에 공비 r을 곱한 값과 같습니다. 첫째항 a₁에서 시작하면:

aₙ = a₁ · r^(n−1)

첫 n개 항의 합(부분합)은 다음과 같습니다:

Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r) (r ≠ 1일 때)

공비가 정확히 1이면 모든 항이 같으므로 합은 단순히 Sₙ = n · a₁이 됩니다. 공비가 엄밀히 −1과 1 사이에 있으면 무한합은 a₁ / (1 − r)로 수렴합니다.

풀이 예제

a₁ = 2, r = 3으로 두고 n = 5개 항을 구해 봅시다.

  • 수열: 2, 6, 18, 54, 162
  • 제5항: a₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162
  • 합: S₅ = 2 · (1 − 3⁵) / (1 − 3) = 2 · (1 − 243) / (−2) = 242

각 항은 바로 앞 항의 정확히 3배이며, 다섯 항의 합은 242입니다.

항과 부분합 한눈에 보기

n 항 aₙ = 2·3^(n−1) 합 Sₙ
1 2 2
2 6 8
3 18 26
4 54 80
5 162 242

흔한 실수

  • 지수의 1 차이. 제n항은 rⁿ이 아니라 r^(n−1)을 사용합니다. 첫째항에는 아직 공비가 적용되지 않았습니다.
  • 공비가 1인 경우. 주된 합 공식에 r = 1을 넣으면 0으로 나누게 됩니다. 대신 Sₙ = n · a₁을 사용하세요. 이 도구는 자동으로 전환합니다.
  • 등비인지 등차인지. 등비수열은 일정한 공비를 곱하고, 등차수열은 일정한 공차를 더합니다. 둘을 혼동하면 완전히 틀린 항이 나옵니다.
  • 음의 공비. −2 같은 공비는 항의 부호를 번갈아 바꿉니다(2, −4, 8, −16, …). 이는 유효하며 계산기가 처리합니다.

등비수열이 나타나는 곳

등비수열은 매 단계마다 일정한 비율로 커지거나 작아지는 모든 것을 모형화합니다. 복리는 매 기간 잔액에 같은 배수를 곱하므로 잔액은 등비수열을 이룹니다. 인구 증가, 반감기로 측정하는 방사성 붕괴, 떨어뜨린 공의 튀는 높이, 자산의 매년 감가상각은 모두 같은 패턴을 따릅니다. 실제 데이터에서 공비를 알아보면 다음 값을 예측하거나 누적 합계를 추정하거나 공비가 −1과 1 사이에 있을 때 수렴하는 무한합 공식이 적용되는지 판단할 수 있습니다.

자주 묻는 질문

등비수열에서는 각 항이 앞 항에 일정한 공비를 곱한 값입니다(2, 6, 18, …). 등차수열에서는 각 항이 앞 항에 일정한 공차를 더한 값입니다(2, 5, 8, …). 등비수열은 지수적으로 커지거나 작아지고, 등차수열은 일정한 속도로 변합니다.

일반항 공식 aₙ = a₁ · r^(n−1)을 사용하세요. 첫째항에 공비를 n − 1제곱한 값을 곱합니다. 예를 들어 2, 6, 18, …의 제8항은 2 · 3⁷ = 4374입니다. 이 계산기는 그 값을 즉시 구해 줍니다.

네. 0과 1 사이의 공비(예: 0.5)는 수열을 0을 향해 작아지게 하고, 음의 공비(예: −2)는 부호를 번갈아 바꿉니다. 값을 소수로 입력하면 계산기가 두 경우 모두 올바르게 처리합니다.

아니요. 입력한 숫자는 계산을 실행하기 위해서만 서버로 전송됩니다. 저장되거나 다른 용도로 사용되지 않습니다.

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