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팩토리얼 계산기

단계 1 / 2
결과

0부터 1000까지의 음이 아닌 정수를 입력하면 n!가 반환됩니다. 이는 n까지(포함)의 모든 양의 정수를 곱한 값입니다. 계산기는 임의 정밀도 연산을 사용하므로 100!(158자리)이나 1000!(2568자리)와 같은 값도 잘리지 않고 정확하게 반환됩니다. 조합론 과제, 순열 수 계산, 확률 유도, 그리고 재귀가 팩토리얼 항으로 귀결되는 모든 경우에 유용합니다.

팩토리얼을 계산하는 방법

  1. 1

    n 입력

    팩토리얼을 구하려는 음이 아닌 정수를 입력하세요. 관례에 따라 `0! = 1`입니다.

  2. 2

    정확한 값 얻기

    결과는 수백 자리에 이르더라도 완전한 정밀도의 정수로 표시됩니다.

  3. 3

    자릿수 확인하기

    값이 매우 클 때는 결과 아래의 자릿수가 크기를 한눈에 보여 줍니다. 예를 들어 `1000!`은 2568자리입니다.

  4. 4

    계산용으로 복사

    정확한 정수 값을 메모, 스프레드시트 또는 다른 도구로 복사하세요.

팩토리얼 참고표와 증가 속도

팩토리얼은 어떤 지수 함수보다도 빠르게 증가합니다. 아래는 값이 얼마나 급격히 커지는지, 그리고 IEEE-754 배정밀도가 어디에서 한계에 이르는지를 보여주는 일반적인 참고표입니다.

작은 값

n n!
0 1
1 1
5 120
10 3,628,800
13 6,227,020,800
20 2,432,902,008,176,640,000

오버플로 경계

  • 32비트 부호 있는 정수: 13!에서 오버플로가 발생합니다(최댓값은 약 21억. 12! = 479,001,600이 담기는 마지막 값이며, 13! = 6,227,020,800은 더 이상 담기지 않습니다).
  • 64비트 부호 있는 정수: 21!에서 오버플로가 발생합니다(20!이 담기는 마지막 값입니다).
  • IEEE-754 배정밀도: 22!부터 부정확해집니다. 170!이 표현 가능한 가장 큰 유한 배정밀도 값입니다.

스털링 근사

큰 n에 대해 스털링 공식은 유용한 닫힌 형식의 근삿값을 제공합니다.

n! ≈ √(2πn) · (n/e)^n

n = 100일 때 스털링 공식은 9.3248 × 10^157을 반환하며, 정확한 100!과의 차이는 0.1% 미만입니다. 정확한 정수 값이 필요하지 않고 자릿수 규모만 파악하면 되는 경우에 사용하세요.

흔한 용도

  • 순열: n개의 서로 다른 항목을 순서대로 배열하는 경우의 수 = n!.
  • 조합: C(n, k) = n! / (k! (n - k)!).
  • 확률: 많은 이산 분포의 분모.
  • 급수: 계수에 팩토리얼 항이 포함되는 테일러 전개.

경계 사례

  • 0! = 1은 관례(공곱)에 따른 것입니다. 이는 극한이 아니라 조합 공식들이 일관성을 유지하도록 하는 정의입니다.
  • 음의 정수와 정수가 아닌 수에는 초등적인 의미의 팩토리얼이 없습니다. 감마 함수가 이 개념을 확장하여, 음이 아닌 정수에 대해 Γ(n+1) = n!이 성립합니다.

자주 묻는 질문

이 계산기는 n을 0부터 1000까지 받습니다. 가장 큰 입력인 1000!은 2568자리이며 즉시 계산됩니다. 1000을 넘는 값은 상한으로 잘립니다.

k = 0 또는 k = n일 때에도 nCk = n! / (k!(n-k)!) 같은 공식이 올바르게 유지되도록 선택된 관례입니다. 또한 이는 공곱의 값으로, 곱셈의 항등원입니다.

이 도구는 이산 팩토리얼에 중점을 둡니다. 정수가 아닌 인수에는 감마 함수가 필요합니다. 많은 과학 라이브러리가 정수에 대해 Γ(n)과 Γ(n+1) = n!을 제공하여 팩토리얼을 실수로 확장할 수 있게 해줍니다.

아니요. 계산기는 입력한 숫자를 데이터베이스에 저장하지 않으며 팩토리얼 계산 외에는 어떤 용도로도 사용하지 않습니다. 여러 단계 보기에서는 결과 단계가 표시할 수 있도록 값이 페이지 링크에 포함됩니다.

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