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타원 넓이 계산기

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장반경(a)과 단반경(b)을 입력하면 이 계산기가 정확한 공식 A = πab로 타원의 넓이를, 라마누잔 근사식으로 정밀한 둘레를, 그리고 타원이 얼마나 길쭉한지를 나타내는 이심률을 알려 줍니다. 타원형 탁자 상판, 육상 트랙, 궤도, 정원 화단 등 단순한 원 공식으로는 다룰 수 없는 모든 타원형에 유용합니다. a와 b가 같아지면 타원은 원이 되어 넓이는 πr²로 돌아갑니다.

타원 넓이를 계산하는 방법

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    장반경(a) 입력

    타원에서 가장 긴 지름의 절반으로, 중심에서 가장 먼 가장자리까지 잰 값입니다. cm, 인치, 미터 등 어떤 단위든 사용할 수 있으며, 결과는 길이에 같은 단위를, 넓이에는 그 제곱을 사용합니다.

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    단반경(b) 입력

    가장 짧은 지름의 절반으로, 중심에서 가장 가까운 가장자리까지 잰 값입니다. a보다 클 수 없습니다. 둘을 바꿔 넣어도 계산은 성립하며, 더 긴 값이 그냥 장축으로 처리됩니다.

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    결과 확인

    넓이는 정확한 공식 A = πab를 사용합니다. 둘레는 라마누잔의 고정밀 근사식을 사용합니다(정확한 닫힌 형태는 존재하지 않습니다). 이심률 e = √(1 − b²/a²)는 0(원)에서 1(길고 가는 타원) 사이의 값을 가집니다.

공식

장반경 a, 단반경 b인 타원에 대해:

  • 넓이: A = π × a × b

  • 이심률: e = √(1 − b²/a²), 여기서 0 ≤ e < 1

  • 둘레(라마누잔 근사): h = (a − b)² / (a + b)²일 때,

    P ≈ π(a + b) × (1 + 3h / (10 + √(4 − 3h)))

타원의 둘레에는 단순하고 정확한 공식이 없으며, 타원 적분이 필요합니다. 위의 라마누잔 제2 근사식은 대부분의 일상적인 형태에서 천만분의 일보다 높은 정확도를 가지며, 어떤 줄자보다도 훨씬 정밀합니다.

계산 예시

장반경 a = 5, 단반경 b = 3인 타원형 탁자 상판을 살펴봅시다.

  • 넓이 = π × 5 × 3 = 47.1239 제곱 단위
  • h = (5 − 3)² / (5 + 3)² = 4 / 64 = 0.0625
  • 둘레 ≈ π × 8 × (1 + 3×0.0625 / (10 + √(4 − 0.1875))) ≈ 25.5269 단위
  • 이심률 = √(1 − 9/25) = √0.64 = 0.8

따라서 이 상판은 꽤 길쭉하며(e = 0.8), 가장자리를 두르려면 약 25.53 단위의 테두리 재료가 필요합니다.

참고 값

a b 넓이 (πab) 둘레 이심률
1 1 3.1416 6.2832 0.0000
2 1 6.2832 9.6884 0.8660
3 2 18.8496 15.8654 0.7454
5 3 47.1239 25.5269 0.8000
10 4 125.6637 45.7888 0.9165
10 10 314.1593 62.8319 0.0000

피해야 할 실수

  • 축과 반축 혼동. 공식에는 반축(중심에서 가장자리까지)이 필요하며, 전체 지름이 아닙니다. 전체 너비와 높이를 쟀다면 먼저 각 값을 반으로 나누세요.
  • 원은 특수한 경우. a = b일 때 이심률은 0이고 넓이는 그냥 πr²입니다. 이심률이 0으로 나오면 타원이 아니라 원입니다.
  • 둘레는 추정값. 라마누잔의 공식조차 근사식이며, 다만 매우 뛰어납니다. 타원 적분의 정확한 결과와 소수점 스무 자리까지 일치하리라고 기대하지 마세요.

자주 묻는 질문

장축과 단축은 타원에서 가장 긴 지름과 가장 짧은 지름 전체를 말합니다. 장반경(a)과 단반경(b)은 그 절반으로, 중심에서 잰 값입니다. 이 계산기는 반축을 사용하므로 전체 지름은 반으로 나눈 뒤 입력하세요.

넓이와 달리 타원의 둘레에는 단순한 닫힌 형태의 공식이 없으며, 제2종 완전 타원 적분이 필요합니다. 여기서 사용하는 라마누잔 근사식은 일반적인 형태에서 천만분의 일보다 높은 정확도를 가져, 어떤 실용적인 측정에도 충분하고도 남습니다.

이심률은 타원이 얼마나 길쭉한지를 나타냅니다. 값이 0이면 완전한 원(a = b)입니다. 값이 1에 가까워질수록 타원은 더 길고 가늘어집니다. 예를 들어 e = 0.8은 뚜렷하게 길쭉한 타원이고, e = 0.1은 거의 원에 가깝습니다.

아니요. 입력하는 동안 계산이 실시간으로 갱신됩니다. 입력한 숫자는 결과를 계산하기 위해서만 서버로 전송되며 저장되거나 공유되지 않으므로, 개인적인 측정에도 마음 놓고 사용할 수 있습니다.

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