특성다항식 계산기

단계 1 / 3 특성다항식 계산기

행렬 크기

2 × 2 3 × 3 4 × 4

행렬의 성분

정수, 0.25 같은 소수, -3/4 같은 분수를 입력할 수 있습니다. 모든 칸을 채워 주세요.

정사각행렬 A의 특성다항식은 det(A - λI)이며, λ에 대한 다항식입니다. 이 다항식의 근이 곧 A의 고윳값입니다. 2 × 2, 3 × 3 또는 4 × 4 행렬을 입력하면 정확한 계수의 다항식, 대각합(트레이스), 행렬식을 구해 주고, 2 × 2와 3 × 3 행렬은 실수 고윳값까지 보여 줍니다.

특성다항식을 구하는 방법

1

크기를 고르고 칸을 채웁니다

2 × 2, 3 × 3, 4 × 4 중에서 고른 뒤, 각 성분을 정수, 0.25 같은 소수, -3/4 같은 분수로 입력하세요.
2

표기 형식을 고릅니다

교재에서 흔히 쓰는 det(A - λI) 또는 최고차항 계수가 항상 1인 monic 형식 det(λI - A) 중에서 고르세요. 2 × 2나 4 × 4처럼 크기가 짝수이면 두 형식의 다항식이 같습니다.
3

다항식을 확인합니다

결과에는 다항식과 계수 표, 입력한 행렬의 대각합과 행렬식이 나타납니다.
4

고윳값을 확인합니다

2 × 2와 3 × 3 행렬은 실수 근이 중복도와 함께 나열됩니다. 4 × 4 행렬은 정확한 다항식만 제공합니다.

특성다항식으로 알 수 있는 것

n × n 행렬 A에 대해 다항식 det(λI - A)는 다음과 같은 꼴입니다.

λⁿ - (trace A)·λⁿ⁻¹ + ... + (-1)ⁿ·det A

그래서 계수 두 개는 쉽게 읽을 수 있습니다. 둘째 계수는 대각합(대각 성분의 합)에 음의 부호를 붙인 값이고, 상수항은 부호 (-1)ⁿ을 제외하면 행렬식과 같습니다. 근은 A의 고윳값이며, 근의 합은 대각합, 근의 곱은 행렬식입니다. 케일리-해밀턴 정리에 따라 A 자신도 이 다항식을 만족합니다. λ 자리에 행렬 A를 대입하면 영행렬이 됩니다.

계수를 계산하는 방법

이 계산기는 파데에프-르베리에 점화식을 사용합니다. 단위행렬에서 시작해 Mₖ = A·Mₖ₋₁ + cₙ₋ₖ₊₁·I로 행렬 열 M₁, M₂, ...를 만들고, 각 계수를 cₙ₋ₖ = -trace(A·Mₖ) / k로 구합니다. 모든 성분을 먼저 정확한 분수로 바꾸기 때문에, 계수는 반올림한 소수가 아니라 정확한 정수 또는 분수로 나옵니다.

풀이 예시 (3 × 3)

A = [[2, 0, 0], [0, 3, 4], [0, 4, 9]]이면 대각합은 2 + 3 + 9 = 14, 행렬식은 2·(3·9 - 4·4) = 22입니다. 다항식은 다음과 같습니다.

λ³ - 14λ² + 35λ - 22

이 식은 (λ - 1)(λ - 2)(λ - 11)로 인수분해되므로 고윳값은 1, 2, 11입니다. det(A - λI) 형식에서는 크기가 홀수이기 때문에 모든 항의 부호가 바뀌어 -λ³ + 14λ² - 35λ + 22가 됩니다.

예시 (2 × 2)

행렬 A	특성다항식	실수 고윳값
[[2, 1], [1, 2]]	λ² - 4λ + 3	1과 3
[[1, 2], [3, 4]]	λ² - 5λ - 2	5.372281과 -0.372281
[[2, 1], [0, 2]]	λ² - 4λ + 4	2 (중복도 2)
[[0, -1], [1, 0]]	λ² + 1	없음 (켤레 복소수 쌍)

이 계산기가 하지 않는 것

2 × 2, 3 × 3, 4 × 4 크기만 지원합니다.
성분은 최대 9자리 숫자, 소수는 소수점 아래 6자리까지 입력할 수 있습니다. 과학적 표기법은 사용할 수 없습니다.
고윳값은 소수점 아래 6자리로 반올림한 소수로 표시되며, 2 × 2와 3 × 3 행렬의 실수 고윳값만 해당합니다. 복소수 고윳값과 고유벡터는 표시되지 않습니다.

자주 묻는 질문

n × n 행렬에서 두 식은 (-1)ⁿ 배만큼 차이가 납니다. 2 × 2와 4 × 4 행렬에서는 같고, 3 × 3 행렬에서는 부호가 반대이지만 근, 즉 고윳값은 같습니다. 많은 교재가 det(A - λI)를 쓰고, 소프트웨어와 일부 강의에서는 monic 형식인 det(λI - A)를 씁니다.

계산이 정확하기 때문입니다. 행렬에 분수나 소수가 들어 있으면 계수도 대체로 분수가 되며, 0.8333보다 5/6으로 표시하는 편이 더 정확합니다. 성분이 모두 정수인 행렬은 계수도 항상 정수입니다.

이 페이지는 4 × 4 행렬의 정확한 특성다항식을 알려 주지만 4차 방정식을 풀지는 않습니다. 고윳값은 다항식을 직접 인수분해하거나 근을 찾아 주는 도구로 구하세요. 2 × 2나 3 × 3 행렬은 실수 고윳값이 바로 나열됩니다.

중복도와 함께 한 번만 표시됩니다. 예를 들어 행렬 [[2, 1], [0, 2]]의 다항식은 (λ - 2)²이므로 λ = 2 (중복도 2)로 나옵니다.

달라지지 않습니다. A와 P⁻¹AP처럼 닮은 행렬은 특성다항식이 같으므로, 특성다항식은 선형변환을 구별하는 좋은 지문 역할을 합니다. 다만 특성다항식이 같다고 해서 항상 닮은 행렬인 것은 아닙니다.

저장되지 않습니다. 입력한 성분은 결과를 계산하기 위해 서버로 전송되고, 단계를 이동할 때 페이지 링크에 추가되어 계산을 북마크하거나 공유할 수 있습니다. 어떤 계정이나 프로필에도 저장되지 않습니다.

특성다항식 계산기

특성다항식을 구하는 방법

크기를 고르고 칸을 채웁니다

표기 형식을 고릅니다

다항식을 확인합니다

고윳값을 확인합니다

특성다항식으로 알 수 있는 것

계수를 계산하는 방법

풀이 예시 (3 × 3)

예시 (2 × 2)

이 계산기가 하지 않는 것

자주 묻는 질문

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