무게중심 계산기

‘무게중심’은 무엇에서 출발하느냐에 따라 의미가 조금 달라집니다. 이 계산기는 흔한 세 가지 경우를 모두 다룹니다.

삼각형

삼각형의 무게중심은 세 꼭짓점의 평균이며, 세 중선이 만나는 점이기도 합니다. 꼭짓점이 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)일 때:

Cx = (x1 + x2 + x3) / 3 그리고 Cy = (y1 + y2 + y3) / 3

무게중심은 각 중선에서 변으로부터 3분의 1 지점에 있습니다. 넓이는 두 변의 외적의 절댓값의 절반입니다.

점의 집합

단순한 점의 집합에서는 x값의 평균과 y값의 평균이 곧 무게중심입니다. 윤곽이 없으므로 넓이는 표시되지 않습니다. 데이터 분포의 평균이나 질량이 같은 질점들의 중심과 같은 개념입니다.

다각형(신발끈 공식)

다각형의 무게중심은 삼각형이 아닌 이상 꼭짓점의 평균과 같지 않습니다. 계산기는 신발끈 공식(shoelace formula)으로 변을 따라가며 계산합니다. 부호 있는 넓이를 A, A = 1/2 * sum(xi * yi+1 - xi+1 * yi)라 하면 무게중심은 다음과 같습니다.

Cx = 1 / (6A) * sum((xi + xi+1) * (xi * yi+1 - xi+1 * yi))

Cy = 1 / (6A) * sum((yi + yi+1) * (xi * yi+1 - xi+1 * yi))

A의 부호는 꼭짓점을 나열하는 방향에 따라 달라지지만, 무게중심과 표시되는 넓이는 달라지지 않습니다. 넓이는 항상 양수로 표시됩니다.

계산 예시

유효한 입력이란

• 각 줄에는 숫자가 정확히 두 개 있어야 합니다. 쉼표, 세미콜론, 공백, 탭 모두 구분자로 쓸 수 있고, 점을 감싼 괄호는 무시됩니다.
• 다각형에는 서로 다른 꼭짓점이 최소 세 개 필요합니다. 첫 번째 꼭짓점을 마지막에 반복해도 되며, 자동으로 제거됩니다.
• 윤곽이 스스로 교차하거나 맞닿아서는 안 됩니다. 나비넥타이 모양이나 8자 모양은 단순 다각형이 아니므로, 잘못된 숫자를 내놓는 대신 계산기가 그 사실을 알려 줍니다.
• 모든 점이 한 직선 위에 있으면 둘러싸는 넓이가 없으므로, 삼각형이나 다각형의 무게중심을 보고할 수 없습니다.
• 점은 최대 200개, 좌표 크기는 최대 10억까지 지원합니다. 결과는 소수점 여섯째 자리까지 반올림됩니다.

팁

• 오목 다각형에서는 얇은 U자나 C자처럼 무게중심이 도형 바깥에 놓일 수 있습니다. 그래프에서 분명히 확인할 수 있습니다.
• 무게중심이 이상해 보이면 꼭짓점 순서를 확인하세요. 변을 따라가지 않고 지그재그로 모서리를 나열하면 윤곽이 스스로 교차합니다.
• 무게중심은 단위와 상관없이 입력한 좌표의 단위 그대로 나옵니다. 넓이는 그 단위의 제곱입니다.