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이항 전개 계산기

단계 1 / 3 이항 전개 계산기

정수, 소수 또는 3/4 같은 분수를 입력하세요. 음수도 사용할 수 있습니다.

다음

x의 계수, 두 번째 항, 0부터 20까지의 정수 거듭제곱 n을 입력하면 이항정리로 (ax + b)^n을 전개합니다. 두 번째 항에 별도의 변수가 있으면 (ax + by)^n으로 전개합니다. 전개식 전체, 각 항 C(n, k) a^(n-k) b^k을 정리한 표, 이항계수 행, 일반항을 한꺼번에 보여 줍니다. 계수에는 정수, 소수, 분수를 쓸 수 있고 결과는 모두 정확한 값이어서 거듭제곱이 커도 반올림 오차가 생기지 않습니다.

이항식을 전개하는 방법

  1. 1

    a, b, n 입력하기

    x의 계수, 두 번째 항, 거듭제곱을 입력합니다. 정수뿐 아니라 0.5 같은 소수나 3/4 같은 분수도 쓸 수 있고, 음수도 가능합니다.

  2. 2

    두 번째 항 고르기

    (ax + b)^n이면 단순한 수를, (ax + by)^n이면 두 번째 변수를 선택합니다.

  3. 3

    전개 결과 보기

    전개식이 가장 먼저 나오고, 이어서 일반항, 이항계수, 각 항의 계수를 정리한 표가 표시됩니다.

이항정리가 각 항을 만드는 방식

이항정리에 따르면 정수 n에 대해 다음이 성립합니다.

(ax + b)^n = C(n, 0) (ax)^n + C(n, 1) (ax)^(n-1) b + ... + C(n, n) b^n

각 항에는 0부터 n까지의 번호 k가 붙고, 일반항은 C(n, k) a^(n-k) b^k x^(n-k)입니다. 두 번째 변수가 있으면 끝에 y^k가 붙습니다. 이항계수는 C(n, k) = n! / (k! (n-k)!)로, n개 중에서 k개를 고르는 방법의 수입니다. 계산기는 C(n, k), a^(n-k), b^k를 정확한 분수 그대로 곱한 뒤 약분합니다.

파스칼의 삼각형: a = b = 1일 때의 계수

n 이항계수 C(n, k)
0 1
1 1, 1
2 1, 2, 1
3 1, 3, 3, 1
4 1, 4, 6, 4, 1
5 1, 5, 10, 10, 5, 1
6 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

각 수는 바로 위의 두 수를 더한 값이고, 각 행의 합은 2^n입니다.

계산 예시

  • (2x + 3)^4 = 16 x^4 + 96 x^3 + 216 x^2 + 216 x + 81. 검산: x = 1을 넣으면 16 + 96 + 216 + 216 + 81 = 625 = 5^4입니다.
  • (x - 2)^5 = x^5 - 10 x^4 + 40 x^3 - 80 x^2 + 80 x - 32. b가 음수이면 부호가 번갈아 나타납니다.
  • (x/2 + 1)^3 = (1/8) x^3 + (3/4) x^2 + (3/2) x + 1. 분수는 반올림된 소수가 되지 않고 정확하게 유지됩니다.

알아 두면 좋은 점

  • 모든 계수의 합은 (a + b)^n과 같습니다. 손으로 한 전개를 빠르게 검산할 때 유용합니다.
  • a 또는 b가 0이면 사라지는 항이 생깁니다. 전개식에서는 그 항을 생략하고, 표에는 계수 0으로 남겨 둡니다.
  • 거듭제곱이 0이면 결과는 항상 1입니다.
  • 소수는 먼저 정확한 분수로 바뀝니다. 0.25는 1/4로 처리됩니다. 0,5처럼 쉼표를 쓴 소수도 입력할 수 있습니다.
  • 0부터 20까지의 정수 거듭제곱만 계산합니다. 분수 거듭제곱이나 음의 거듭제곱에는 무한 이항급수가 필요한데, 이 도구는 이를 계산하지 않습니다.

자주 묻는 질문

두 항의 합을 정수 거듭제곱한 식을 전개하는 규칙입니다. (a + b)^n은 k를 0부터 n까지 바꾸며 더한 C(n, k) a^(n-k) b^k의 합과 같습니다. 이항계수 C(n, k)는 파스칼의 삼각형 n번째 행에 나오는 수입니다.

거듭제곱이 n이면 k = 0부터 n까지 모두 n + 1개의 항이 나옵니다. 표에는 그 항이 전부 나열됩니다. a 또는 b가 0이면 0이 되는 항이 빠지기 때문에 전개식에는 항이 더 적게 나타납니다.

네. a와 b 칸에 3/4, 0.75, -2 같은 값을 입력할 수 있습니다. 소수는 정확한 분수로 바뀌므로 0.1은 1/10으로 처리되고, 계수가 반올림되는 일은 없습니다.

20제곱의 전개식은 이미 21개의 항이 있고 계수도 수십 자리에 이릅니다. 한 화면에서 보기 좋게 보여 줄 수 있는 대략의 한계입니다. 이 범위 안에서는 정확한 정수와 분수로 계산합니다.

아니요. 입력한 값은 전개를 계산하기 위해 서버로 전송되며, 단계를 넘어갈 때 페이지 링크에 함께 붙어서 결과를 북마크하거나 공유할 수 있습니다. 계정이나 프로필에는 저장되지 않습니다.

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