등차수열 계산기

등차수열 공식

등차수열은 이웃한 항 사이에 일정한 간격, 즉 공차 d 를 가집니다. 두 공식이 모든 계산을 해냅니다.

제n항: a_n = a₁ + (n − 1) · d
합:    S_n = n/2 · (2·a₁ + (n − 1) · d)

여기서 a₁ 은 첫째항, d 는 각 단계마다 더하는 값(감소하는 수열에서는 음수일 수 있습니다), n 은 세고 있는 항의 개수입니다. 합 공식은 첫째항과 마지막 항의 평균에 항의 개수를 곱한 것에 지나지 않습니다.

풀이 예시

a₁ = 2, d = 3 으로 둡니다. 수열은 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 …

제10항을 구하려면:

a₁₀ = 2 + (10 − 1) · 3 = 2 + 27 = 29

첫 10개 항을 더하려면:

S₁₀ = 10/2 · (2·2 + 9·3) = 5 · (4 + 27) = 5 · 31 = 155

따라서 제10항은 29이고 누적 합은 155입니다.

항, 공차, 부분합

각 항이 정확히 d = 3 씩 올라간다는 점에 주목하세요. 이것이 등차(등비가 아닌) 수열의 표시입니다. 부분합 Sₙ 은 항 자체보다 더 빠르게 커지는데, 각 단계가 마지막 값만이 아니라 누적된 선 전체를 더하기 때문입니다.

간단한 확인: 합은 항의 개수에 첫째항과 마지막 항의 평균을 곱한 값과 같습니다. n = 10 이면 10 · (2 + 29) ÷ 2 = 10 · 15.5 = 155 이며, 표와 정확히 일치합니다.

흔한 실수

• n 에서 하나씩 어긋나는 오류. 공식은 n·d 가 아니라 (n − 1)·d 를 씁니다. 첫째항에는 공차가 한 번도 더해지지 않으므로 a₁ 은 5가 아니라 2입니다.
• 등차와 등비를 혼동하기. 등차수열은 고정된 공차 d 를 더하고, 등비수열은 고정된 공비를 곱합니다. 간격이 계속 두 배로 늘어난다면 대신 등비수열 도구가 필요합니다.
• 음의 공차도 괜찮습니다. 공차 d = −4 는 감소하는 수열을 만들며, 같은 공식이 그대로 적용됩니다.