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테일러 급수 계산기

단계 1 / 3 근사값
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테일러 급수는 함수를 한 점에서의 도함수들로 만든 다항식으로 다시 표현하여 곡선을 대수식으로 바꿉니다. 다섯 가지 함수 중 하나와 중심점 a, 그리고 항의 개수 n을 선택하면, 이 계산기는 테일러 다항식의 각 항을 계수와 값과 함께 나열하고, 그것들을 합하여 근삿값을 만든 뒤 그 근삿값을 정확한 값과 비교합니다. 항을 늘릴수록 오차가 줄어드는 모습을 볼 수 있습니다.

테일러 전개를 계산하는 방법

  1. 1

    함수를 선택하세요

    내장된 다섯 가지 함수 중 하나를 선택합니다: eˣ, sin(x), cos(x), ln(x), arctan(x).

  2. 2

    중심점 a를 선택하세요

    a = 0이면 매클로린 급수가 되고, 다른 점이면 그 점에서의 테일러 급수가 됩니다. ln(x)의 경우 중심점은 0보다 커야 합니다.

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    항의 개수 n을 설정하세요

    1부터 50까지의 임의의 값. 항이 많을수록 중심 부근에서 정확도가 높아집니다.

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    분해 내역을 읽으세요

    각 항(첨자 k, 계수, 값), 합산한 근삿값, 정확한 값, 그리고 둘 사이의 절대 오차를 확인합니다.

공식

a에서 무한히 미분 가능한 함수 f(x)에 대해, a를 중심으로 한 테일러 급수는 다음과 같습니다:

f(x) = Σ (f^(n)(a) / n!) · (x - a)^n     for n = 0, 1, 2, ...

a = 0일 때 이 식은 매클로린 급수로 단순화되며, 이는 대부분의 입문 미적분 강의에서 가장 먼저 배우는 전개입니다.

이 계산기가 전개하는 함수

계산기는 다음 다섯 가지 함수를 제공합니다. 표시된 급수는 매클로린 형태(a = 0)이지만, ln(x)는 0에서 정의되지 않아 매클로린 급수가 없으므로 중심점 a > 0이 필요합니다.

함수 급수(별도 표기가 없으면 a = 0 기준) 수렴 범위
eˣ 1 + x + x²/2! + x³/3! + … 모든 실수 x
sin(x) x − x³/3! + x⁵/5! − … 모든 실수 x
cos(x) 1 − x²/2! + x⁴/4! − … 모든 실수 x
ln(x)(중심 a>0) ln(a) + (x−a)/a − (x−a)²/2a² + … 0 < x ≤ 2a
arctan(x) x − x³/3 + x⁵/5 − … −1 ≤ x ≤ 1

계산 예: x = 1에서의 eˣ

기본 설정(함수 eˣ, 중심 a = 0, 8개 항, x = 1에서 평가)에서는 각 계수가 1/k!이고 (x − a)^k = 1이므로 각 항은 계수와 같습니다:

k 계수 항의 값
0 1 1
1 1 1
2 0.5 0.5
3 0.166667 0.166667
4 0.041667 0.041667
5 0.008333 0.008333
6 0.001389 0.001389
7 0.000198 0.000198

여덟 개 항의 합은 2.7182540입니다. e의 정확한 값은 2.7182818이므로 절대 오차는 약 0.0000279입니다. 항을 더 추가하면 이 오차는 계속 줄어듭니다.

테일러 급수가 어디에나 등장하는 이유

  • 계산기는 잘라 낸 테일러 다항식(및 CORDIC)을 사용하여 내부적으로 sin, cos, exp를 계산합니다.
  • 물리학자들은 방정식을 선형화합니다. 평형점 근처에서 처음 몇 항만 남기는 방식으로, sin(x) ≈ x 같은 소각 근사가 이렇게 생깁니다.
  • 수치 해석 방법(룽게-쿠타법, 뉴턴법)은 본질적으로 테일러 전개입니다.

함정: 수렴

테일러 급수는 수렴하는 곳에서만 유용합니다. arctan(x)의 매클로린 급수는 수렴 반경이 1이므로, x = 2를 넣으면 arctan(2) ≈ 1.107이 명백히 유한한데도 급수는 발산합니다. 중심의 근방을 벗어나 외삽하기 전에 항상 반경을 확인하세요.

라그랑주 나머지

차수 n에서 잘라 낸 뒤의 오차는 다음으로 제한됩니다:

|R_n(x)| ≤ M · |x - a|^(n+1) / (n+1)!

여기서 M은 구간에서 (n+1)차 도함수의 상한입니다. 이는 이론적 한계이며, 계산기는 그 대신 실제 절대 오차, 즉 근삿값과 정확한 값의 차이를 보고합니다.

자주 묻는 질문

매클로린 급수는 단지 a = 0을 중심으로 전개한 테일러 급수입니다. 모든 매클로린 급수는 테일러 급수이며, 이 명칭은 0을 중심으로 하는 경우를 가리키는 역사적 약칭입니다. 이 도구에서 중심을 0으로 설정하면 매클로린 급수가 나옵니다.

0에서 멀리 떨어진 특정 x 값 근처에서 좋은 근사가 필요할 때입니다. x = 2 근처에서 ln(x)를 근사하려면 중심을 a = 2로 설정하세요. 거기서 더 빨리 수렴하고, ln(x)는 어차피 양의 중심이 필요합니다.

중심점에서 무한히 미분 가능한 경우에만 가능합니다. 비해석적 예(예: f(0) = 0인 f(x) = e^(-1/x²))는 0에서 모든 도함수가 0이지만 다른 곳에서는 0이 아니므로, 테일러 급수가 틀린 답으로 수렴합니다.

중심에서 얼마나 멀리 평가하는지와 고차 도함수의 크기에 따라 다릅니다. 도구의 절대 오차 열을 지켜보며, 오차가 더 이상 뚜렷이 줄지 않을 때까지 항의 개수를 늘리세요.

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