제곱근 계산기
양의 수를 입력하면 계산기는 그 수의 제곱근을 소수점 이하 15자리까지 나타내며, 가능할 경우 정확한 단순화된 근호 형태도 함께 반환합니다. 예를 들어 √72는 6√2로, √200은 10√2로 표기됩니다. 완전제곱수의 경우 정수를 반환하며, 음수의 경우에는 상상단위가 제거된 i 표기법으로 출력됩니다.
근이 어떻게 계산되는가
-
1
근수를 입력하세요
근호 아래의 수. 양수, 음수 또는 0입니다.
-
2
소수점 형식
IEEE 754 제곱근 명령어를 사용하여 계산하여, 15자리 정확도로 결과를 산출합니다.
-
3
간소화된 근형식
완전제곱수로 나누는 인자를 분리한다. √72 = √(36 × 2) = 6√2.
-
4
작동 중인 상태를 표시합니다
단계별 인분화 결과가 표시되어 있으므로 수작업으로 재현할 수 있습니다.
알아야 할 완전제곱수들
| n | n² | √(n²) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 2 |
| 3 | 9 | 3 |
| 4 | 16 | 4 |
| 5 | 25 | 5 |
| 10 | 100 | 10 |
| 11 | 121 | 11 |
| 12 | 144 | 12 |
| 13 | 169 | 13 |
| 14 | 196 | 14 |
| 15 | 225 | 15 |
| 16 | 256 | 16 |
| 25 | 625 | 25 |
비완전 제곱수의 단순화
핵심은 가장 큰 완전제곱인 인자를 찾는 것입니다.
- √50 = √(25 × 2) = 5√2
- √72 = √(36 × 2) = 6√2
- √108 = √(36 × 3) = 6√3
- √500 = √(100 × 5) = 10√5
- √1000 = √(100 × 10) = 10√10
결과에 여전히 제곱수가 아닌 인자가 포함된 경우, 다음과 같이 반복하세요: √180 = √(36 × 5) = 6√5이며, √(4 × 45) = 2√45는 완전히 단순화되지 않았습니다.
일반 십진 수 값들
- √2 ≈ 1.41421 (단위 정사각형 내의 피타고라스 값)
- √3 ≈ 1.73205 (입방체의 대각선 길이)
- √5 ≈ 2.23607(황금비(1 + √5)/2에 등장함)
- √7 ≈ 2.64575
- √π ≈ 1.77245 (통계학 및 가우시안 적분에서 사용됨)
- √10 ≈ 3.16228
- √(1000) ≈ 31.6228 (10배로 증가할 때마다 √의 값은 약 3.16배로 증가함)
음수와 상수
음수의 제곱근은 실수 영역에서는 정의되지 않는다. 복소수 영역에서는 양의 x에 대해 √(−x) = i√x이다. 따라서 √(−4) = 2i가 된다. 계산기는 음수 입력값의 경우 소수 형태가 아니라 상상수 형태를 출력한다.
제곱근 대 제n차 뿌리
계산기는 제2차근을 처리합니다. 제3차근, 제4차근 등은 일반적인 n차근 도구를 사용하십시오. 주요 정리식:
- √(ab) = √a × √b (a와 b가 모두 비음수일 때만 성립)
- √(a/b) = √a / √b (b > 0일 때만 성립)
- (√a)² = a (단, a ≥ 0일 때만 성립)
역사 포인터
근호 √는 1500년대에 글자 r(라틴어로 ‘근’을 의미하는 radix)에서 유래했습니다. 수평선(vinculum)은 17세기에 근호 아래의 내용을 구분하기 위해 추가되었습니다.
자주 묻는 질문
모든 양의 수에는 두 개의 제곱근이 있습니다: +x와 −x입니다. 주근(음수가 아닌 근)이 바로 √가 일반적으로 지칭하는 값입니다. 이차방정식에서는 두 가지 제곱근 모두가 사용됩니다.
관례상 정답은 5입니다. √는 주금액(음이 아닌 수)의 근을 반환합니다. x² = 25를 풀 때 5와 −5 모두 이 방정식을 만족하므로, x = ±5로 작성합니다.
역사적으로 사용된 방법으로는 자리별 나누기 알고리즘, 뉴턴법(반복식: x_new = (x + a/x)/2), 또는 완전제곱수가 많은 수의 근을 구할 때 인수분해 및 단순화 방법이 있다. 뉴턴법은 빠르게 수렴하며, 대부분의 입력값에 대해 3회 반복만으로도 10자리 정확도를 얻을 수 있다.
그리스인들이 모순법을 통해 입증한 바와 같이, √2를 최소분수로 표현할 때 √2 = p/q라면 2q² = p²가 성립하며, 이는 p가 짝수임을 의미한다. 따라서 p = 2k이 되고, 2q² = 4k²가 되어 q²도 2k²가 된다. 이는 q 역시 짝수임을 보여주며, 이는 lowest terms와 모순된다. 따라서 √2는 분수일 수 없으며 무리수이다.
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