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구 부피 계산기

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반지름을 입력하면 V = (4/3) π r³ 에 따른 구의 부피, 표면적(A = 4 π r²), 지름(d = 2r)이 바로 표시됩니다. 결과는 단위에 상관없습니다. 반지름을 센티미터로 입력하면 부피는 세제곱센티미터로, 미터로 입력하면 세제곱미터로 나옵니다. 특정 단위를 가정하지 않습니다.

구의 부피를 계산하는 방법

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    반지름 입력

    구의 반지름 r 을 입력합니다. 결과는 실시간으로 갱신되고 지름 d = 2r 이 옆에 함께 표시됩니다.

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    부피 공식

    V = (4/3) π r³. 반지름을 세제곱한 뒤 π 와 4/3 을 한 번에 곱합니다.

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    표면적도 함께

    A = 4 π r². 대원, 즉 적도 단면 π r² 넓이의 4배입니다.

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    단위는 사용자가 결정

    r 을 어떤 단위로 입력하든 부피는 그 단위의 세제곱(cm이면 cm³, m이면 m³)으로, 표면적은 그 단위의 제곱으로 나옵니다.

공식 요약

양 공식
부피 V = (4/3) π r³
표면적 A = 4 π r²
단면적 π r²
반지름에서 지름 d = 2r
적도에서의 둘레 c = 2π r
부피에서 반지름 r = ∛(3V / (4π))

계산 예시

대상 r 근사값 부피 근사값
구슬 0.7 cm 1.4 cm³
야구공 3.65 cm 204 cm³
농구공 11.9 cm 7,057 cm³ (7 L)
비치볼 25 cm 65,450 cm³ (65 L)
열기구 외피 11 m 5,575 m³
지구 6,371 km 1.083 x 10^12 km³
태양 696,340 km 1.41 x 10^18 km³

유도 (궁금한 분을 위해)

구의 부피는 구의 수평 단면에 대해 π y² dx 를 적분하여 얻습니다. 여기서 y² = r² − x² 입니다. x = −r 부터 r 까지 적분하면 ∫(r² − x²) π dx = π [r²x − x³/3] (−r 부터 r) = (4/3) π r³ 가 됩니다. 아르키메데스가 이를 처음으로 밝혀냈고, 구에 딱 외접하는 원기둥을 이용한 유명한 관계 V_구 = (2/3) V_원기둥 을 자신의 묘비에 새기게 했습니다.

자주 혼동하는 것

  • 반지름과 지름. 지름을 두 배로 하면 부피는 여덟 배(2³ = 8)가 되며, 두 배가 아닙니다.
  • 반구와 구. 반구는 구의 절반으로, (2/3) π r³ 입니다.
  • 대원 넓이와 표면적. 대원(적도 등)의 넓이는 π r² 입니다. 구 전체 표면은 그 4배입니다.
  • 구와 타원체. 세 반축이 모두 다른 타원체는 V = (4/3) π a b c 를 사용합니다. 지구를 구로 근사하면 약 0.3%를 버리게 되는데, 일상 계산에는 대개 충분하지만 인공위성 궤도에는 부족합니다.

밀도 및 질량과의 관계

밀도가 ρ 인 속이 찬 균질한 구의 경우 질량 = ρ × V = ρ × (4/3) π r³ 입니다. 반지름 5 cm 인 강철 구(ρ = 7,850 kg/m³)의 질량은 7,850 × (4/3) × π × 0.05³ ≈ 4.11 kg 입니다.

자주 묻는 질문

반구의 부피는 완전한 구의 정확히 절반, (2/3) π r³ 입니다. 구 결과를 2로 나누세요. 닫힌 반구의 표면적은 2π r²(돔) + π r²(밑면) = 3π r² 입니다.

공식을 뒤집습니다. r = 세제곱근(3V / (4π)). V = 1 리터(0.001 m³)이면 r = 세제곱근(3 × 0.001 / (4π)) ≈ 0.062 m = 6.2 cm 입니다.

일상용으로는 3.14159 면 충분합니다. 유효숫자 6자리 이상이 필요한 공학 용도에는 3.141592653589793 을 쓰세요. 계산기는 내부적으로 배정밀도 π 를 사용합니다.

구가 내접하면(모서리 길이 d = 2r 인 정육면체에 딱 들어맞으면) V_구 / V_정육면체 = (4/3) π r³ / (2r)³ = π/6 ≈ 52.36% 입니다. 정육면체의 부피는 구의 약 두 배입니다.

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