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판별식 계산기

단계 1 / 4 판별식: ax² + bx + c = b² − 4ac
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근의 공식을 끝까지 계산하기 전에, 단 하나의 식만으로 앞으로 얻게 될 근에 대한 모든 것을 알 수 있습니다. 판별식 b² - 4ac는 실근이 두 개일 때 양수, 정확히 하나(중근)일 때 0, 근이 켤레복소수 쌍일 때 음수가 됩니다. 이 도구는 계수 a, b, c로부터 판별식을 계산하고 그 값이 무엇을 의미하는지 설명합니다.

판별식 계산 방법

  1. 1

    계수를 입력하세요

    표준형 ax² + bx + c = 0에서 a, b, c를 입력하세요. 소수와 음수도 입력할 수 있습니다.

  2. 2

    판별식을 읽으세요

    이 도구는 D = b² - 4ac와 수치 결과를 보여 줍니다.

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    값을 해석하세요

    이 방정식이 서로 다른 두 실근, 하나의 중근, 또는 두 복소근을 가지는지 확인하세요.

부호가 의미하는 것

판별식 근의 종류 그래프의 거동
D > 0 서로 다른 두 실근 포물선이 x축과 두 번 만난다
D = 0 하나의 실근(중근/이중근) 포물선이 x축에 한 점에서 접한다
D < 0 켤레인 두 복소근 포물선이 x축과 만나지 않는다

풀이 예제

x² - 5x + 6 = 0: D = 25 - 24 = 1. 양수이므로 실근이 두 개입니다. 공식 x = (5 ± 1)/2를 사용하면 x = 3, x = 2가 됩니다.

x² - 4x + 4 = 0: D = 16 - 16 = 0. 0이므로 중근이 하나입니다. x = 4/2 = 2.

x² + 2x + 5 = 0: D = 4 - 20 = -16. 음수이므로 복소근이 존재합니다. x = (-2 ± √(-16)) / 2 = -1 ± 2i.

부호를 넘어: 정확한 값

판별식은 근이 유리수인지도 알려 줍니다. 정수 a, b, c에 대해:

  • D가 완전제곱수일 때(0, 1, 4, 9, 16, 25, …): 근은 유리수입니다.
  • D가 양수이지만 완전제곱수가 아닐 때: 근은 무리수이며 제곱근을 포함합니다.
  • D가 음수일 때: 근은 실수가 아닌 복소수입니다.

이를 미리 알면 그 방정식이 정수 범위에서 깔끔하게 인수분해되는지 판단할 수 있습니다.

관련 판별식

이 개념은 더 높은 차수의 다항식으로도 일반화됩니다. 삼차식은 b, c, d와 상수항을 포함하는 판별식을 가지며, 이를 통해 세 근을 ‘모두 실근이고 서로 다름’, ‘실근이지만 중복 있음’, ‘실근 하나와 복소근 둘’로 분류합니다. 여기 계산기는 이차의 경우만 처리합니다. 삼차와 사차에는 일반 대수 풀이기를 사용하세요.

팁

  • 항상 부호를 확인하세요. c의 마이너스 부호 하나가 빠지면 판별식이 크게 달라집니다.
  • 먼저 분수를 정리하세요. 계수가 유리수라면 D를 계산하기 전에 분모를 없애면 계산이 한결 수월해집니다.
  • 실제 문제는 다시 확인하세요. 포물선 운동에서 판별식이 음수라는 것은 발사체가 목표에 결코 도달하지 못한다는 뜻이며, 계산 실수를 뜻하는 것이 아닙니다.

자주 묻는 질문

직접적으로는 사용할 수 없습니다. b² - 4ac 공식은 2차 다항식에만 해당합니다. 더 높은 차수의 판별식도 있지만 서로 다른 공식을 사용합니다. 방정식이 이차가 아니라면 먼저 대입이나 인수분해로 이차 부분에 이를 때까지 정리하세요.

발사체 문제에서 판별식이 0인 경우는, 발사체가 단 하나의 접선 경로로 목표에 간신히 도달하는 경계 상황입니다. 회로 문제에서는 임계 감쇠 상태에 해당합니다. 물리적으로는 서로 다른 두 거동 사이의 경계입니다.

계산은 서버에서 배정밀도 부동소수점 연산으로 수행되며, 결과는 소수점 4자리로 반올림하여 표시됩니다. 유효숫자 15자리를 넘는 입력은 근삿값이 될 수 있습니다.

아니요. 계수는 입력할 때마다 결과가 갱신되도록 서버로 전송되며, 단계별 모드에서는 페이지 링크에도 포함됩니다. 저장되거나 기록되지 않습니다.

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