외적 계산기

공식

벡터 A = (ax, ay, az)와 B = (bx, by, bz)에 대해 외적은 다음과 같습니다.

A × B = (ay·bz − az·by, az·bx − ax·bz, ax·by − ay·bx)

각 성분은 나머지 두 축의 2×2 행렬식이며, 가운데 항의 부호는 반대로 바뀝니다. 편리한 암기법은 단위 벡터 i, j, k를 따라 행렬식을 전개하는 것입니다.

풀이 예제

A = (1, 2, 3), B = (4, 5, 6)이라고 합시다.

• x: ay·bz − az·by = 2·6 − 3·5 = 12 − 15 = −3
• y: az·bx − ax·bz = 3·4 − 1·6 = 12 − 6 = 6
• z: ax·by − ay·bx = 1·5 − 2·4 = 5 − 8 = −3

따라서 A × B = (−3, 6, −3)입니다. 그 크기는 √((−3)² + 6² + (−3)²) = √54 ≈ 7.348입니다. 결과가 수직임을 확인할 수 있습니다. A·(A × B) = 1·(−3) + 2·6 + 3·(−3) = 0. ✓

주요 성질

흔한 실수

• 순서가 중요합니다. 두 벡터를 바꾸면 모든 성분의 부호가 반대로 바뀝니다. 외적이 반교환적이기 때문입니다.
• 외적은 3차원에서만 정의됩니다. 내적과 달리 A × B는 3차원 벡터에 대해 정의됩니다(7차원에 유사한 것이 있지만 거의 쓰이지 않습니다). 2차원 벡터의 경우 빠진 z 성분을 0으로 채우세요.
• 가운데 항의 부호. y 성분은 ax·bz − az·bx가 아니라 az·bx − ax·bz입니다. 행렬식 전개에서 j 항은 빼주는데, 손으로 계산할 때 대부분의 실수가 바로 여기서 일어납니다.
• 평행한 벡터는 0이 됩니다. A와 B가 같은 방향을 가리키면(θ = 0) sin(0) = 0이므로 결과는 영벡터가 됩니다.