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공분산 계산기

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공분산은 두 변수가 함께 어떻게 변하는지를 나타냅니다. 양의 공분산은 두 변수가 같은 방향으로 움직이는 경향을, 음의 공분산은 반대 방향으로 움직이는 경향을 의미하며, 0은 선형 관계가 없음을 의미합니다. 상관계수와 달리 공분산은 원래 단위를 제곱한 단위로 표현되므로 맥락 없이는 그 크기를 해석하기 어렵습니다. 이 계산기는 표본 공분산(n-1로 나눔)과 모집단 공분산(n으로 나눔)을 모두 산출합니다.

공분산을 계산하는 방법

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    짝지어진 X/Y 데이터 붙여넣기

    각 행에 X 하나와 Y 하나를 입력합니다. 쉼표, 탭 또는 공백으로 구분하며, 각 열의 개수는 동일해야 합니다.

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    두 버전이 모두 표시됩니다

    계산기는 항상 둘 다 보여 줍니다. 표본 공분산(n-1로 나눔)과 모집단 공분산(n으로 나눔)입니다.

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    계산 실행하기

    계산기가 평균과 편차의 곱을 구한 뒤 그 결과를 n 또는 n-1로 나눕니다.

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    결과 확인하기

    두 공분산 값을 확인하세요. 양수면 변수들이 함께 움직이는 경향이 있고, 음수면 반대 방향으로 움직이는 경향이 있습니다.

공식

표본 공분산: cov(X, Y) = Σ((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / (n - 1)

모집단 공분산: cov(X, Y) = Σ((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / n

n - 1로 나누는 것(베셀 보정)은 표본 공분산을 모집단 공분산의 불편추정량으로 만들어 줍니다. 통계 소프트웨어는 기본적으로 표본 버전을 사용합니다.

중요한 것은 부호

부호 의미
양수 X와 Y가 함께 평균보다 위에 있거나 아래에 있는 경향이 있음
음수 X가 평균보다 클 때 Y는 평균보다 작은 경향이 있음
0 선형 패턴 없음(비선형 관계는 있을 수 있음)

크기는 단위에 따라 달라집니다. 성인의 cov(키_cm, 몸무게_kg)는 약 +70이지만, 키를 미터로 바꾸면 +0.7로 떨어집니다. 관계는 같지만 수치는 다릅니다. 그래서 더 흔히 보고되는 것은 상관계수입니다.

공분산과 상관계수

상관계수 = 공분산 / (σ_X × σ_Y)

상관계수는 단위가 없는 형태로, 항상 [-1, +1] 범위 안에 있으며 서로 다른 데이터셋 간에도 비교할 수 있습니다. 공분산은 요약 통계량으로 쓰기보다는 주로 공식 안에서(포트폴리오 분산, 회귀, PCA) 유용합니다.

공분산이 직접 쓰이는 경우

  • 포트폴리오 이론: 포트폴리오 분산 = Σ wᵢ wⱼ cov(rᵢ, rⱼ). 가중치와 분산이 중요하므로 상관계수가 아니라 공분산이 필요합니다.
  • 선형 회귀: 기울기 추정값 β = cov(X, Y) / var(X).
  • 주성분 분석(PCA): 대각화되는 것이 바로 공분산 행렬입니다.
  • 신호 처리: 교차 공분산은 서로 다른 지연에서 신호 간의 유사성을 측정합니다.

흔한 실수

  • n과 n-1 혼동: 작은 데이터셋에서는 표본 공분산과 모집단 공분산이 몇 퍼센트 차이가 날 수 있어 재현성 문제를 일으킵니다. 어느 쪽이 필요한지 정하고 명시하세요.
  • 크기 해석: 공분산이 50이라고 해서 그 자체로 ‘크다’고 할 수 없습니다. 전적으로 X와 Y의 단위와 분산에 달려 있습니다.
  • 공분산 0을 독립으로 간주하기: 공분산 0은 선형 관계가 없다는 뜻일 뿐입니다. 두 변수는 공분산이 0이면서도 비선형적으로 완전히 예측 가능할 수 있습니다(예: 대칭인 X에 대한 Y = X²).

자주 묻는 질문

데이터가 더 큰 모집단에서 추출한 표본이면 표본(n-1로 나눔)을 사용합니다. 연구에서는 보통 이 경우입니다. 데이터셋이 가능한 모든 관측값을 실제로 포함할 때만 모집단(n으로 나눔)을 사용합니다. 확신이 없으면 표본을 기본값으로 하세요.

공분산은 두 단위의 곱으로 표현되기 때문입니다. X가 원이고 Y가 개수라면 공분산은 ‘원·개’ 단위가 됩니다. 단위가 없는 값을 원하면 상관계수로 변환하세요(σ_X × σ_Y로 나눔).

아니요. |cov(X, Y)| ≤ σ_X × σ_Y (코시-슈바르츠 부등식). 등호는 Y가 X의 완전한 선형 함수일 때만 성립합니다. 계산기가 이보다 큰 공분산을 보여 준다면 오류가 있는 것입니다.

반드시 그렇지는 않습니다. 공분산 0은 선형 관계가 없다는 뜻일 뿐입니다. [0, 2π] 구간의 함수 Y = sin(X)는 X와의 공분산이 0이지만 완전히 결정됩니다. 공분산 0이 독립을 의미하는 것은 변수가 결합 정규분포를 따를 때뿐입니다.

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