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복소수 계산기

단계 1 / 3
첫 번째 복소수 z₁ = a + bi
다음

복소수는 a + bi 형태이며, 여기서 a는 실수부, b는 허수부, i는 −1의 제곱근입니다. 이 계산기는 두 복소수 z₁ = a + bi와 z₂ = c + di를 받아 그 합·차·곱·몫을 표준형 x + yi로 반환합니다. 또한 z₁의 절댓값(원점으로부터의 거리)과 편각(각도, 도 단위)도 함께 알려 주므로 직교 형식과 극형식을 한눈에 오갈 수 있습니다.

계산기 사용 방법

  1. 1

    z₁ 입력

    첫 번째 복소수의 실수부 a와 허수부 b를 입력합니다.

  2. 2

    z₂ 입력

    두 번째 복소수의 실수부 c와 허수부 d를 입력합니다.

  3. 3

    결과 확인

    합·차·곱·몫이 a + bi 형태로 나타나며, z₁의 절댓값과 편각도 함께 표시됩니다.

네 가지 연산

z₁ = a + bi와 z₂ = c + di에 대해, i를 i² = −1인 기호로 다루면 연산은 다음과 같이 곧바로 유도됩니다.

  • 합: (a + c) + (b + d)i
  • 차: (a − c) + (b − d)i
  • 곱: (ac − bd) + (ad + bc)i
  • 몫: 분자와 분모에 z₂의 켤레복소수를 곱합니다: [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²)

나눗셈은 분모 c² + d²가 0이 아닐 때, 즉 z₂가 0 + 0i가 아닐 때에만 정의됩니다.

z₁의 절댓값과 편각

절댓값은 복소평면에서 원점으로부터 점 (a, b)까지의 거리입니다: |z₁| = √(a² + b²). 편각은 z₁이 양의 실수축과 이루는 각도로, 두 인수의 역탄젠트 arg(z₁) = atan2(b, a)로 계산하며 여기서는 −180°에서 180° 범위의 도 단위로 표시합니다.

계산 예시

z₁ = 3 + 2i, z₂ = 1 + 4i라고 하겠습니다.

연산 계산 결과
합 (3 + 1) + (2 + 4)i 4 + 6i
차 (3 − 1) + (2 − 4)i 2 − 2i
곱 (3·1 − 2·4) + (3·4 + 2·1)i −5 + 14i
몫 [(3 + 8) + (2 − 12)i] / 17 ≈ 0.6471 − 0.5882i
절댓값 z₁ √(3² + 2²) = √13 ≈ 3.6056
편각 z₁ atan2(2, 3) ≈ 33.69°

피해야 할 실수

  • i² = −1을 잊는 것. 곱셈에서 bd·i² 항은 부호가 바뀌어 실수부에 합쳐집니다. 그래서 곱의 실수부가 ac + bd가 아니라 ac − bd인 것입니다.
  • 켤레 없이 나누기. (a + bi)/(c + di)를 항별로 나눌 수는 없습니다. 먼저 (c − di)/(c − di)를 곱하세요.
  • 도와 라디안을 혼동하기. 여기서 편각은 도 단위이지만, 많은 프로그래밍 언어는 atan2에서 라디안을 반환합니다. 변환하려면 180/π를 곱하세요.
  • 사분면 오류. 단순한 arctan(b/a)가 아니라 atan2를 사용하세요. 그렇지 않으면 실수부가 음수인 점의 각도가 잘못된 사분면에 들어갑니다.

자주 묻는 질문

두 입력값의 각 부분입니다. z₁ = a + bi (a는 실수부, b는 허수부)와 z₂ = c + di (c는 실수부, d는 허수부)입니다. 순수 실수로 다루려면 b나 d를 0으로, 순수 허수로 만들려면 a나 c를 0으로 설정하세요.

대부분의 사람에게는 도가 읽기 더 쉽기 때문입니다. 값은 atan2(b, a)에서 나오며 −180°에서 180° 범위를 가집니다. 라디안으로 변환하려면 π/180을 곱하세요.

0으로 나누기는 정의되지 않으므로 c와 d가 모두 0이면 몫을 계산할 수 없고 계산기가 이를 알려 줍니다. 나머지 연산(합·차·곱)은 모두 정상적으로 동작합니다.

입력한 숫자는 페이지에 표시할 결과를 계산하기 위해서만 서버로 전송되며, 단계별 보기에서는 단계 사이의 페이지 링크에도 포함됩니다. 저장되거나 공유되지 않습니다.

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