복소수 계산기

네 가지 연산

z₁ = a + bi와 z₂ = c + di에 대해, i를 i² = −1인 기호로 다루면 연산은 다음과 같이 곧바로 유도됩니다.

• 합: (a + c) + (b + d)i
• 차: (a − c) + (b − d)i
• 곱: (ac − bd) + (ad + bc)i
• 몫: 분자와 분모에 z₂의 켤레복소수를 곱합니다: [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²)

나눗셈은 분모 c² + d²가 0이 아닐 때, 즉 z₂가 0 + 0i가 아닐 때에만 정의됩니다.

z₁의 절댓값과 편각

절댓값은 복소평면에서 원점으로부터 점 (a, b)까지의 거리입니다: |z₁| = √(a² + b²). 편각은 z₁이 양의 실수축과 이루는 각도로, 두 인수의 역탄젠트 arg(z₁) = atan2(b, a)로 계산하며 여기서는 −180°에서 180° 범위의 도 단위로 표시합니다.

계산 예시

z₁ = 3 + 2i, z₂ = 1 + 4i라고 하겠습니다.

피해야 할 실수

• i² = −1을 잊는 것. 곱셈에서 bd·i² 항은 부호가 바뀌어 실수부에 합쳐집니다. 그래서 곱의 실수부가 ac + bd가 아니라 ac − bd인 것입니다.
• 켤레 없이 나누기. (a + bi)/(c + di)를 항별로 나눌 수는 없습니다. 먼저 (c − di)/(c − di)를 곱하세요.
• 도와 라디안을 혼동하기. 여기서 편각은 도 단위이지만, 많은 프로그래밍 언어는 atan2에서 라디안을 반환합니다. 변환하려면 180/π를 곱하세요.
• 사분면 오류. 단순한 arctan(b/a)가 아니라 atan2를 사용하세요. 그렇지 않으면 실수부가 음수인 점의 각도가 잘못된 사분면에 들어갑니다.