완전제곱식 계산기

풀이 예시: 2x² + 8x + 5

1단계, x 항에서 a = 2 인수분해: 2(x² + 4x) + 5

2단계, 4의 절반은 2, 제곱하면 4. 안에서 4를 더하고 뺌: 2(x² + 4x + 4 − 4) + 5

3단계, 완전제곱과 나머지로 분리: 2((x + 2)² − 4) + 5

4단계, 2를 분배: 2(x + 2)² − 8 + 5

5단계, 상수 정리: 2(x + 2)² − 3

꼭짓점 형태: a = 2, h = −2, k = −3 → 꼭짓점 (−2, −3).

일반 공식

ax² + bx + c의 경우:

• h = −b / (2a)
• k = c − b² / (4a)
• 꼭짓점 형태: a(x − h)² + k

완전제곱을 하는 이유

• 포물선 스케치를 위해 꼭짓점을 즉시 찾기.
• 근의 공식 없이 이차 방정식 풀기, 특히 무리수 근에 유용.
• 근의 공식 자체 유도: ax² + bx + c = 0에 완전제곱을 하면 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)가 나옵니다.
• 미적분: 미분 없이 이차식의 극값 찾기.
• 포물선 운동: 위로 던진 공의 최고 높이는 높이 식의 꼭짓점 형태에서 k입니다.
• 원과 원뿔곡선: x와 y 항 모두에 완전제곱을 하면 x² + y² + Dx + Ey + F = 0이 (x−h)² + (y−k)² = r²로 변환되어 중심과 반지름이 명백해집니다.

꼭짓점 형태로 본 포물선 기하

• 꼭짓점: (h, k).
• 대칭축: x = h.
• a > 0이면 위로 열림, a < 0이면 아래로 열림.
• 함수의 최댓값 또는 최솟값: k.
• 너비: |a| > 1이면 좁고, |a| < 1이면 넓음.
• 근(실근이면): x = h ± √(−k/a). k/a ≤ 0일 때만 실근.

흔한 실수

• 괄호 안에서 완전제곱 후 a 분배를 잊는 것. 보정 항이 바뀝니다.
• b/(2a)의 부호 오류: h = −b/(2a)이지 +b/(2a)가 아닙니다.
• 제곱하기 전에 가운데 계수를 반으로 나누지 않는 것. “a 분의 b의 절반, 그다음 제곱”이 정석 표현입니다.
• a ≠ 1을 묻어두기: 단순화를 위해 항상 먼저 인수분해하세요.

특수 경우: a = 1

a = 1일 때 과정이 단순화됩니다:

• x² + bx + c → (x + b/2)² + (c − b²/4)
• h = −b/2, k = c − b²/4

음의 k는 실근을 의미

k가 a와 반대 부호이면 포물선이 x축을 가로지릅니다. a(x − h)² = −k를 풀어 찾으세요.