조합 계산기

공식

C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)

등가 표현식: C(n, k) = (n × (n − 1) × … × (n − k + 1)) / k!

실습 예제

• C(10, 3) = 120: 10개 중에서 3개의 토핑을 선택하는 방법의 수.
• C(52, 5) = 2,598,960: 표준 카드 한 벌에서 만들 수 있는 5장짜리 포커 패의 수.
• C(49, 6) = 13,983,816: 영국 국민복권 본 추첨의 조합 수.
• C(70, 5) × 25 = 302,575,350: 메가 밀리언스 잭팟 조합 수(70개 중 5개의 메인 볼 + 25개 중 1개의 메가 볼).
• C(100, 50) ≈ 1.01 × 10²⁹: 100개 항목으로 구성된 집합의 절반에 해당하는 부분집합들.

조합과 순열의 비교

• 조합 C(n, k): 순서는 중요하지 않습니다. {A, B, C}를 선택하는 것은 {C, B, A}와 동일합니다.
• 순열 P(n, k): 순서가 중요합니다. {A, B, C}는 {C, B, A}와 다릅니다.
• 관계: P(n, k) = C(n, k) × k!

복권 추첨 결과는 볼의 순서가 중요하지 않은 조합입니다. 반면 경주 종료 순위는 1위, 2위, 3위가 중요한 순열입니다.

파스칼 삼각형

C(n, k)는 다음과 같이 배열될 때 파스칼 삼각형을 형성한다:

            1
           1 1
          1 2 1
         1 3 3 1
        1 4 6 4 1
       1 5 10 10 5 1
      1 6 15 20 15 6 1

각 항목 C(n, k)는 그 위에 있는 두 항목의 합인 C(n–1, k–1) + C(n–1, k)이다. 대칭성: C(n, k) = C(n, n–k)이다.

속성

• C(n, 0) = C(n, n) = 1: 아무것도 선택하지 않거나 모든 것을 선택하는 경우가 단 하나뿐입니다.
• C(n, 1) = n: 하나의 항목을 선택할 수 있는 방법의 수.
• n번째 행의 합: Σ C(n, k) (k=0부터 n까지) = 2ⁿ. 이는 n개 원소로 구성된 집합의 모든 부분집합의 수입니다.
• 하키 스틱 항등식: Σ C(i, k) (i=k부터 n까지) = C(n+1, k+1).

실제 적용 사례

• 복권 확률: 추출된 정확한 숫자의 경우 1/C(n, k).
• 표본 설계: 전체 집단에서 검사 그룹을 선정하는 방법.
• 유전학: 가능한 자손 유전자형의 수를 계산하는 것.
• 일정 편성: 라운드 로빈 토너먼트에는 C(팀 수, 2) 경기가 필요합니다.
• 이항분포: P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^{n-k}.
• 위원회 구성 방법: 20명의 회원 중에서 5명으로 위원회를 구성하는 방법 = C(20, 5) = 15,504.

큰 숫자도 여전히 정확합니다

결과는 빠르게 커집니다. C(100, 50)은 이미 30자리입니다. 계산기는 n을 170으로 제한하여 복권, 위원회, 표본 추출 같은 모든 실용적인 용도를 다루면서, 부동소수점 대신 임의 정밀도 정수 연산을 사용하므로 모든 답이 정확합니다.